Bài toán xếp chỗ ngẫu nhiên cho học sinh là một dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt trong phần xác suất. Tuy nhiên, khi bài toán được mở rộng với nhiều điều kiện ràng buộc, ví dụ như “Xếp Ngẫu Nhiên 10 Học Sinh Gồm 2 Học Sinh Lớp 12a”, độ khó của nó sẽ tăng lên đáng kể. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết một bài toán điển hình thuộc dạng này, đồng thời mở rộng ra các trường hợp tổng quát hơn.
Bài toán: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, trong đó có 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có hai học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau.
Phân tích bài toán:
Đây là bài toán xác suất có điều kiện. Để giải quyết nó, chúng ta cần xác định:
- Không gian mẫu: Tổng số cách xếp 10 học sinh vào một hàng ngang.
- Biến cố cần tính xác suất: Các cách xếp thỏa mãn điều kiện không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
-
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí là một hoán vị của 10 phần tử.
Số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω) = 10! -
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố (các cách xếp thỏa mãn điều kiện)
Đây là bước phức tạp nhất. Chúng ta sẽ giải quyết nó bằng cách sử dụng phương pháp “xếp chỗ”.
- Xếp 5 học sinh lớp 12C trước: Có
5!cách xếp.
alt: Sơ đồ xếp 5 học sinh lớp 12C tạo 6 chỗ trống*
5 học sinh lớp 12C sẽ tạo ra 6 khoảng trống (bao gồm cả hai đầu hàng). Để không có hai học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau, chúng ta phải xếp các học sinh lớp 12A và 12B vào các khoảng trống này.
- Xếp 2 học sinh lớp 12A: Chọn 2 trong 6 khoảng trống để xếp 2 học sinh lớp 12A. Có
A(2,6)cách chọn và xếp. - Xếp 3 học sinh lớp 12B: Sau khi xếp học sinh lớp 12A, còn lại 4 khoảng trống. Chọn 3 trong 4 khoảng trống để xếp 3 học sinh lớp 12B. Có
A(3,4)cách chọn và xếp.
Vậy số cách xếp thỏa mãn điều kiện là:
5! * A(2,6) * A(3,4) - Xếp 5 học sinh lớp 12C trước: Có
-
Bước 3: Tính xác suất
Xác suất để không có hai học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau là:
P = (5! * A(2,6) * A(3,4)) / 10! = (5! * (6*5) * (4*3*2)) / 10! = 1/21
Kết quả: Xác suất để không có hai học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau là 1/21.
Tổng quát hóa bài toán:
Bài toán trên có thể được tổng quát hóa cho nhiều lớp và số lượng học sinh khác nhau. Tuy nhiên, phương pháp giải quyết vẫn tương tự:
- Xếp các học sinh của lớp có số lượng lớn nhất trước.
- Tạo các khoảng trống.
- Xếp các học sinh của các lớp còn lại vào các khoảng trống, đảm bảo điều kiện không có hai học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau.
- Tính xác suất.
Lưu ý:
- Bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận và khả năng tư duy logic cao.
- Việc sử dụng phương pháp “xếp chỗ” là chìa khóa để giải quyết bài toán.
- Nắm vững các công thức tổ hợp và hoán vị là điều cần thiết.
alt: Logo Vietjack – Minh họa bài toán xếp chỗ*
Ví dụ mở rộng:
Giả sử chúng ta có 12 học sinh gồm 3 học sinh lớp X, 4 học sinh lớp Y và 5 học sinh lớp Z. Yêu cầu tính xác suất để không có 2 học sinh lớp Y đứng cạnh nhau.
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ xếp 3 học sinh lớp X và 5 học sinh lớp Z trước. Sau đó, tạo các khoảng trống và xếp 4 học sinh lớp Y vào các khoảng trống đó. Các bước còn lại tương tự như bài toán gốc.
Kết luận:
Bài toán “xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A” là một ví dụ điển hình cho các bài toán xác suất có điều kiện. Việc nắm vững phương pháp giải quyết và các công thức tổ hợp, hoán vị sẽ giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán tương tự. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về dạng bài toán này.
