Trong một cuộc thi pha chế, việc tối ưu hóa nguyên liệu là yếu tố then chốt để đạt được điểm số cao nhất. Bài toán đặt ra là làm thế nào để tận dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo, khi biết rằng mỗi loại nước trái cây mang lại số điểm thưởng khác nhau.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng lít nước cam và nước táo cần pha chế sao cho vừa đáp ứng các ràng buộc về nguyên liệu, vừa đạt được tổng điểm thưởng cao nhất.
Xây dựng mô hình toán học
Giả sử x là số lít nước cam và y là số lít nước táo mà đội chơi cần pha chế. Dựa trên thông tin đề bài, ta có các ràng buộc sau:
- Lượng đường: 30x + 10y ≤ 210 (gam)
- Lượng nước: x + y ≤ 9 (lít)
- Lượng hương liệu: x + 4y ≤ 24 (gam). Đây là yếu tố then chốt: Trong Một Cuộc Thi Pha Chế Mỗi đội Chơi được Sử Dụng Tối đa 24g Hương Liệu.
- Điều kiện không âm: x ≥ 0, y ≥ 0
Mục tiêu là tối đa hóa hàm mục tiêu P(x, y) = 60x + 80y (tổng điểm thưởng), với x, y thỏa mãn các ràng buộc trên.
Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị
Để giải bài toán tối ưu này, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị. Đầu tiên, vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình ràng buộc trên hệ trục tọa độ Oxy. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác được giới hạn bởi các đường thẳng này.
Miền nghiệm bài toán tối ưu hóa pha chế nước cam và táo
Alt text: Đồ thị minh họa miền nghiệm của bài toán tối ưu hóa pha chế nước cam và táo, thể hiện các ràng buộc về lượng đường, nước và hương liệu, với các đỉnh O, B, C, D, E là các điểm cực trị tiềm năng.
Sau khi xác định được miền nghiệm, ta tìm các đỉnh của đa giác này. Các đỉnh này là các điểm cực trị, và giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu P(x, y) sẽ đạt được tại một trong các đỉnh này.
Trong ví dụ này, các đỉnh của đa giác là O(0;0), B(0;6), C(4;5), D(6;3), E(7;0).
Tìm điểm tối ưu
Thay tọa độ của từng đỉnh vào hàm mục tiêu P(x, y) = 60x + 80y, ta được:
- P(0;0) = 0
- P(0;6) = 480
- P(4;5) = 640
- P(6;3) = 600
- P(7;0) = 420
Vậy, giá trị lớn nhất của P(x, y) là 640, đạt được tại điểm C(4;5).
Kết luận
Để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo. Điều này đảm bảo sử dụng tối đa 24g hương liệu (yếu tố quan trọng trong một cuộc thi pha chế), tuân thủ các ràng buộc về lượng đường và nước, đồng thời tối ưu hóa điểm số.
