Trong hình học phẳng, việc xác định Tọa độ Hình Chiếu Vuông Góc của một điểm lên một đường thẳng là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa đa dạng để bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán này.
Phương Pháp Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc
Cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 và điểm A(xA; yA). Để tìm tọa độ điểm H(xH; yH) là hình chiếu vuông góc của A trên d, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Xác định tọa độ điểm H(xH; yH).
Vì H nằm trên đường thẳng d, tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của d:
axH + byH + c = 0(1) -
Bước 2: Sử dụng tính vuông góc.
Do AH vuông góc với d, vectơ AH→ là vectơ pháp tuyến của d. Suy ra AH→ và n→(a; b) cùng phương.
Ta có AH→(xH – xA; yH – yA). Điều kiện cùng phương được biểu diễn bằng phương trình:
b(xH - xA) - a(yH - yA) = 0(2) -
Bước 3: Giải hệ phương trình.
Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) để tìm ra xH và yH. Nghiệm của hệ chính là tọa độ điểm H.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 3) trên đường thẳng d: x – y = 0.
Lời giải:
Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
-
H thuộc d nên:
a - b = 0(1) -
Ta có MH→(a – 1; b – 3). Vì MH vuông góc d nên MH→ cùng phương với vectơ pháp tuyến n→(1; -1) của d.
Alt text: Hình minh họa vectơ MH và vectơ pháp tuyến của đường thẳng d trong bài toán tìm hình chiếu vuông góc.
Điều này dẫn đến: -(a - 1) = b - 3 hay a + b = 4 (2)
Giải hệ phương trình:
Alt text: Phương trình và cách giải hệ phương trình tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H(a; b).
Ta được a = 2 và b = 2. Vậy tọa độ hình chiếu là H(2; 2).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 và điểm M(0; 4). Tìm hình chiếu vuông góc của M trên d.
Lời giải:
Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
-
H thuộc d nên:
2a - b + 3 = 0(1) -
Ta có MH→(a; b – 4). Vì MH vuông góc d nên MH→ cùng phương với vectơ pháp tuyến n→(2; -1) của d.
Alt text: Sơ đồ minh họa vectơ MH và vectơ pháp tuyến của đường thẳng d trong bài toán tìm hình chiếu.
Điều này dẫn đến: -a = 2(b - 4) hay a + 2b = 8 (2)
Giải hệ phương trình:
Alt text: Cách thiết lập và giải hệ phương trình tuyến tính để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc.
Ta được a = 2/5 và b = 19/5. Vậy tọa độ hình chiếu là H(2/5; 19/5).
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Tìm điểm M'(x; y) đối xứng với M qua d.
Lời giải:
Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d. Điểm đối xứng M’ sẽ thỏa mãn H là trung điểm MM’.
-
H thuộc d nên:
a + 2b + 4 = 0(1) -
Ta có MH→(a – 1; b – 3). Vì MH vuông góc d nên MH→ cùng phương với vectơ pháp tuyến n→(1; 2) của d.
Alt text: Hình ảnh minh họa vị trí tương đối của vectơ MH và vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.
Điều này dẫn đến: 2(a - 1) = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)
Giải hệ phương trình:
Alt text: Các bước giải hệ phương trình để xác định tọa độ điểm H (hình chiếu vuông góc).
Ta được a = -1.2 và b = -1.4. Vậy tọa độ hình chiếu là H(-1.2; -1.4).
Vì H là trung điểm MM’ nên:
Alt text: Công thức toán học để tính tọa độ điểm đối xứng M’ qua đường thẳng d, sử dụng tọa độ M và hình chiếu H.
Từ đó suy ra M'(-3.4; -5.8).
Kết luận: Nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên với các ví dụ khác nhau sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ hình chiếu vuông góc. Chúc bạn thành công!
