Trong hình học, mối quan hệ giữa đường kính và dây cung của một đường tròn là một chủ đề quan trọng, đặc biệt là khi đường kính vuông góc với dây cung. Bài viết này sẽ đi sâu vào tính chất này, cung cấp lý thuyết, chứng minh và các ứng dụng liên quan.
Định lý 1: Đường kính vuông góc với dây cung đi qua trung điểm của dây đó.
Nội dung định lý này khẳng định rằng, trong một đường tròn, nếu một đường kính vuông góc với một dây cung thì đường kính đó sẽ đi qua trung điểm của dây cung đó.
Alt: Hình minh họa đường tròn tâm O, đường kính CD vuông góc dây AB tại điểm H, H là trung điểm AB, thể hiện tính chất đường kính vuông góc dây cung.
Chứng minh:
Giả sử ta có đường tròn tâm O, đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm H. Ta cần chứng minh H là trung điểm của AB, tức là AH = BH.
Xét tam giác OAB, ta có OA = OB (cùng là bán kính của đường tròn). Do đó, tam giác OAB là tam giác cân tại O.
Vì OH vuông góc với AB (CD vuông góc AB tại H) nên OH là đường cao của tam giác cân OAB. Trong một tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến. Vậy H là trung điểm của AB.
Định lý 2: Đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây đó.
Định lý này phát biểu rằng, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây cung đó.
Alt: Hình vẽ đường tròn tâm O, đường kính CD đi qua trung điểm H của dây AB, chứng minh CD vuông góc AB, minh họa tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung.
Chứng minh:
Giả sử ta có đường tròn tâm O, đường kính CD đi qua trung điểm H của dây AB (O không thuộc AB). Ta cần chứng minh CD vuông góc với AB tại H.
Xét tam giác OAB, ta có OA = OB (cùng là bán kính của đường tròn). Do đó, tam giác OAB là tam giác cân tại O.
Vì H là trung điểm của AB nên OH là đường trung tuyến của tam giác cân OAB. Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường cao. Vậy OH vuông góc với AB, suy ra CD vuông góc với AB tại H.
Ứng dụng của Tính Chất đường Kính Vuông Góc Với Dây Cung:
Tính chất này được sử dụng rộng rãi trong giải toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến đường tròn. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:
- Tính độ dài đoạn thẳng: Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các đoạn thẳng liên quan đến đường kính, dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây.
- Chứng minh các tính chất hình học: Sử dụng tính chất vuông góc để chứng minh các quan hệ vuông góc khác, chứng minh các điểm thẳng hàng, hoặc chứng minh các đường thẳng đồng quy.
- Giải các bài toán dựng hình: Tính chất này giúp xác định vị trí của các điểm, đường thẳng cần dựng, từ đó giải quyết bài toán dựng hình.
Ví dụ:
Cho đường tròn (O; R) và dây AB. Gọi H là trung điểm của AB. Biết AB = 16cm, OH = 6cm. Tính bán kính R của đường tròn.
Giải:
Vì H là trung điểm của AB nên OH vuông góc với AB (tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây).
Tam giác OHA vuông tại H, áp dụng định lý Pitago, ta có:
OA² = OH² + AH²
Ta có AH = AB/2 = 16/2 = 8cm.
Suy ra: R² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Vậy R = √100 = 10cm.
Kết luận:
Tính chất đường kính vuông góc với dây cung là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán hình học liên quan đến đường tròn. Việc nắm vững lý thuyết và các ứng dụng của tính chất này sẽ giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp cận và giải quyết các bài toán phức tạp.
