Đường tròn nội tiếp tam giác là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học. Nó không chỉ xuất hiện trong các bài toán phổ thông mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, tính chất và các ví dụ minh họa về đường tròn nội tiếp tam giác.
Định nghĩa:
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Nói cách khác, tam giác đó ngoại tiếp đường tròn.
Hình ảnh minh họa đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tâm O, tiếp xúc với các cạnh tại E, F, G. Đường tròn nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.
Khi đó, nếu từ tâm O của đường tròn nội tiếp ta kẻ các đường vuông góc OE, OF, OG lần lượt đến ba cạnh của tam giác ABC, ta sẽ có OE = OF = OG. Giá trị này chính là bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Các tính chất then chốt của đường tròn nội tiếp tam giác:
- Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất và được sử dụng phổ biến nhất để xác định tâm của đường tròn nội tiếp.
Hình ảnh minh họa tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong, thể hiện tính chất quan trọng giúp xác định vị trí tâm đường tròn.
- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng nhau. Điều này xuất phát từ tính đối xứng cao của tam giác đều.
Hình ảnh minh họa tính chất đặc biệt của tam giác đều, nơi tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau, thể hiện sự đối xứng hoàn hảo.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều có cạnh dài 6cm. Hãy xác định tâm và tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh minh họa cách xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác đều, sử dụng tính chất đường trung tuyến đồng thời là đường cao và đường phân giác.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB. Gọi O là giao điểm của AD và CE.
Vì tam giác ABC là tam giác đều nên đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác.
Do đó, O chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Xét tam giác ABC, CE là đường trung tuyến nên CE cũng là đường cao.
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có:
O là trọng tâm của tam giác ABC nên:
Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là (cm).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = 2cm. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh minh họa cách xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông cân, sử dụng tính chất đường phân giác và định lý Pytago.
Kẻ AD, CO lần lượt là các đường phân giác của góc và .
Khi đó, O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kẻ .
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AD cũng đồng thời là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ABC.
Xét tam giác ODC và tam giác OEC có:
Vì AD là đường phân giác của góc A nên .
Tam giác OEA vuông tại E có nên tam giác OEA vuông cân tại E.
Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là điểm O (giao điểm của hai đường phân giác) và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là (cm).
Thông qua các ví dụ trên, ta thấy việc nắm vững các Tính Chất Của đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác giúp giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và chính xác.
