Trong chương trình Toán lớp 9, bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức là một dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Để giúp các em học sinh tự tin chinh phục dạng toán này, bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đa dạng.
1. Phương Pháp Giải Chung
Nền tảng cơ bản của dạng toán này là việc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc và biến đổi đại số để đưa biểu thức về dạng có thể đánh giá được GTLN hoặc GTNN. Hai bất đẳng thức quan trọng nhất thường được sử dụng là:
- Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM): Cho các số a, b không âm, ta có: (a + b)/2 ≥ √(ab). Dấu bằng xảy ra khi a = b.
- Bất đẳng thức Bunyakovsky: Cho các số a₁, a₂, …, aₙ và b₁, b₂, …, bₙ, ta có: (a₁² + a₂² + … + aₙ²)(b₁² + b₂² + … + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ)². Dấu bằng xảy ra khi a₁/b₁ = a₂/b₂ = … = aₙ/bₙ.
Ngoài ra, cần chú ý đến các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng biến đổi đại số để đưa biểu thức về dạng bình phương, từ đó có thể đánh giá được.
Một số kỹ thuật thường dùng:
- Hoàn thiện bình phương: Biến đổi biểu thức bậc hai về dạng (ax + b)² + c hoặc -(ax + b)² + c.
- Sử dụng tính chất của căn bậc hai: √(A²) = |A| ≥ 0.
- Đặt ẩn phụ: Đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn để dễ dàng đánh giá.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x² – 4x + 7.
Giải:
Ta có: A = x² – 4x + 7 = (x² – 4x + 4) + 3 = (x – 2)² + 3.
Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x, nên (x – 2)² + 3 ≥ 3.
Vậy GTNN của A là 3, đạt được khi x = 2.
Alt text: Đồ thị hàm số y bằng x bình phương trừ 4x cộng 7 minh họa điểm cực tiểu tại x bằng 2, y bằng 3, thể hiện giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B = -x² + 6x – 5.
Giải:
Ta có: B = -x² + 6x – 5 = -(x² – 6x + 9) + 4 = -(x – 3)² + 4.
Vì -(x – 3)² ≤ 0 với mọi x, nên -(x – 3)² + 4 ≤ 4.
Vậy GTLN của B là 4, đạt được khi x = 3.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của C = x + √(x).
Giải:
Đặt t = √(x) (t ≥ 0). Khi đó C = t² + t = t² + t + 1/4 – 1/4 = (t + 1/2)² – 1/4.
Vì (t + 1/2)² ≥ 0 với mọi t, nên (t + 1/2)² – 1/4 ≥ -1/4.
Vậy GTNN của C là -1/4, đạt được khi t = -1/2 (loại vì t ≥ 0).
Khi t = 0, x = 0, C = 0. Vậy GTNN của C là 0, đạt được khi x = 0.
Alt text: Đồ thị biểu diễn hàm số y bằng x cộng căn x, thể hiện điểm thấp nhất của đồ thị tại gốc tọa độ (0, 0), biểu thị giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
3. Bài Tập Tự Luyện
Để nắm vững phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng, các em học sinh nên tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A = x² + 2x + 5.
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức B = -x² + 4x – 1.
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức C = x + √(x + 1).
Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức D = 1/(x² + 2x + 2).
Bài 5. Cho biểu thức P = (x + 1)/(√(x) + 1). Tìm GTNN của P.
4. Lưu Ý Quan Trọng
- Luôn xác định điều kiện xác định của biểu thức trước khi giải.
- Khi sử dụng bất đẳng thức, cần chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải để đảm bảo tính chính xác.
- Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán.
5. Kết Luận
Việc tìm GTLN và GTNN của biểu thức là một dạng toán thú vị và hữu ích. Bằng cách nắm vững phương pháp giải, rèn luyện kỹ năng biến đổi và áp dụng các bất đẳng thức một cách linh hoạt, các em học sinh hoàn toàn có thể chinh phục dạng toán này và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc các em học tốt!
