Trong hình học không gian, việc Tìm Giao Tuyến Của 2 Mặt Phẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết cùng các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức này.
A. Phương Pháp Xác Định Giao Tuyến
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng.
- Nối hai điểm chung đó, ta được giao tuyến cần tìm.
Điểm chung thứ nhất thường dễ xác định. Với điểm chung thứ hai, ta cần tìm hai đường thẳng, mỗi đường thuộc một mặt phẳng, và cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba. Giao điểm của hai đường thẳng này chính là điểm chung thứ hai.
Lưu ý quan trọng: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, nghĩa là nó thuộc cả hai mặt phẳng đó.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Lời giải:
Ta có:
- S là điểm chung của (SAC) và (SBD) (1)
- O là giao điểm của AC và BD, suy ra O thuộc cả (SAC) và (SBD) (2)
Từ (1) và (2), suy ra SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).
Hình ảnh minh họa cách xác định giao tuyến SO của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) trong hình chóp.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Lời giải:
- A là điểm chung của (ABG) và (ACD) (1)
- Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD. Vì N thuộc BG nên N thuộc (ABG), N thuộc CD nên N thuộc (ACD). Do đó, N là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) suy ra: NA là giao tuyến của (ABG) và (ACD).
Hình ảnh minh họa cách xác định giao tuyến AN giữa mặt phẳng (ABG) và (ACD) trong tứ diện ABCD, với N là trung điểm của CD.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB // CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Lời giải:
- S là điểm chung của (SAC) và (SBD).
- Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O thuộc cả (SAC) và (SBD).
Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).
Hình ảnh minh họa giao tuyến SO được tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) trong hình chóp S.ABCD, với O là giao điểm của AC và BD.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ).
Lời giải:
- A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ).
- IJ và CD cắt nhau tại F. Do đó F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ)
Vậy giao tuyến của (ABCD) và (AIJ) là AF.
Hình ảnh thể hiện giao tuyến AF được hình thành giữa mặt phẳng đáy (ABCD) và mặt phẳng (AIJ) trong hình chóp S.ABCD.
C. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Tìm Giao Tuyến
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là:
A. SD
B. SO
C. SG (G là trung điểm của AB)
D. SF (F là trung điểm của MD)
Đáp án: B. SO
Câu 2: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (IJM):
A. KI
B. KJ
C. MI
D. MH
Đáp án: D. MH
Hình ảnh này minh họa cách xác định giao tuyến MH giữa hai mặt phẳng (ACD) và (IJM) trong tứ diện ABCD.
D. Bài Tập Tự Luyện Về Xác Định Giao Tuyến
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Xác định giao tuyến giữa 2 mặt phẳng:
a) (SAC) và (SBD).
b) (SAD) và (SBC)
Bài 2. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi K, M lần lượt là hai điểm trên cạnh SA và SC. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (SAN) và (ABM).
b) (SAN) và (BCK).
Chúc các bạn học tốt và nắm vững kỹ năng tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng!
