Tích Phân Thể Tích là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, cho phép chúng ta tính toán thể tích của các vật thể trong không gian ba chiều. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về ứng dụng của tích phân trong việc tính thể tích, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
A. Phương Pháp Tính Tích Phân Thể Tích
Tích phân thể tích mở rộng khái niệm tích phân một chiều và hai chiều để tính toán trên không gian ba chiều. Về cơ bản, nó liên quan đến việc chia nhỏ một vật thể thành các phần tử thể tích vô cùng nhỏ, tính toán giá trị của một hàm tại mỗi phần tử, và sau đó cộng tất cả các giá trị này lại bằng phép tích phân.
1. Thể tích vật thể bằng Tích Phân Mặt Cắt
Xét một vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b. Gọi S(x) là diện tích mặt cắt của vật thể tại điểm x trên trục Ox, với a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
Khi đó, thể tích V của vật thể B được tính bằng công thức tích phân:
Công thức này cho phép ta tính thể tích vật thể một cách dễ dàng nếu biết diện tích mặt cắt của nó theo một biến.
2. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox được tính như sau:
Lưu ý:
-
Nếu quay quanh trục Oy, ta sử dụng hàm x = g(y) và tích phân theo biến y từ c đến d:
-
Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x), ta tính hiệu bình phương của hai hàm:
Tóm tắt công thức tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1: Hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a, x = b quay quanh Ox:
Trường hợp 2: Hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b quay quanh Ox:
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành quanh trục Ox.
A. 48π. B. 36π. C. 24π. D. 6π.
Lời giải
Ví dụ 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos2x; x = 0; x = π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay xung quanh trục Ox.
Lời giải
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục Ox.
Lời giải
Ví dụ 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi y = x2 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải
Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x2 + x; y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải
Ví dụ 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải
Ví dụ 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx; y = 0; x = 0; x = π/4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải:
Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x√lnx; y = 0; x = e quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải:
Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2×2; y2 = 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải:
Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải:
Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Lời giải:
Qua bài viết này, hy vọng bạn đã nắm vững kiến thức về tích phân thể tích và ứng dụng của nó trong việc tính thể tích vật thể và khối tròn xoay. Việc luyện tập giải các bài tập vận dụng sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và tự tin hơn khi gặp các bài toán liên quan.
