Khi rời xa những vô cực tập hợp, ta tiến vào lý thuyết số, mật độ tự nhiên xuất hiện như một khái niệm mô tả độ lớn của một tập hợp con trong tập hợp số tự nhiên. Mật độ tự nhiên này liên kết chặt chẽ với các ý tưởng xác suất và phù hợp với trực giác, mặc dù vẫn còn một số hạn chế nhất định.
Để hiểu rõ hơn, hãy xét tỷ lệ số chẵn nhỏ hơn 𝑛 trong tập hợp số tự nhiên nhỏ hơn 𝑛. Gọi P(𝑛) là số lượng số chẵn nhỏ hơn 𝑛, và xét tỷ lệ P(𝑛) / 𝑛 với các giá trị khác nhau của 𝑛.
Qua biểu đồ, ta thấy rằng khi 𝑛 tăng, tỷ lệ giữa số lượng số chẵn nhỏ hơn 𝑛 và số lượng số tự nhiên nhỏ hơn 𝑛 tiến gần đến 1/2. Điều này cho thấy sự phân bố đều đặn của các số chẵn trong tập hợp số tự nhiên.
Dựa trên ý tưởng giới hạn khi 𝑛 tiến đến vô cùng, mật độ tự nhiên của các số chẵn được định nghĩa là 1/2. Định nghĩa này có thể mở rộng cho các tập hợp con khác của số tự nhiên, mặc dù không phải lúc nào cũng khả thi. There Are A Number Of Natural mở rộng này đã được các nhà toán học khám phá và ứng dụng rộng rãi.
Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là liệu có thể so sánh số nguyên và số tự nhiên theo cách tương tự hay không. Mặc dù khái niệm mật độ số nguyên không phổ biến như mật độ tự nhiên, chúng ta có thể xây dựng nó bằng cách lấy tập hợp số nguyên làm tham chiếu thay vì tập hợp số tự nhiên. Gọi Z(𝑛) là số lượng số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 𝑛. Ví dụ, với 𝑛 = 10, ta có:
Z(10) = #{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 19
Để nghiên cứu tỷ lệ số tự nhiên nhỏ hơn 𝑛 trong tập hợp số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 𝑛, ta có thể lặp lại lập luận đã sử dụng trước đó để so sánh số chẵn và số tự nhiên.
Tương tự, khi 𝑛 tăng, tỷ lệ giữa số lượng số tự nhiên nhỏ hơn 𝑛 và số lượng số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 𝑛 tiến gần đến 1/2.
Nếu lại tiếp tục xét giới hạn khi 𝑛 tiến đến vô cùng, ta có thể định nghĩa mật độ số nguyên của số tự nhiên, và nó cũng bằng 1/2. There are a number of natural kết quả thú vị cho thấy sự tương đồng trong cách phân bố của số tự nhiên trong cả tập hợp số tự nhiên và số nguyên.
Những ý tưởng về mật độ của các tập hợp con trong tập hợp số tự nhiên đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng, như Paul Erdös (1913-1996) và Terrence Tao. There are a number of natural câu hỏi mở và khám phá tiềm năng trong lĩnh vực này, hứa hẹn những phát hiện mới trong tương lai.
