Tam thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 10. Hiểu rõ về tam thức bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình và khảo sát hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về “Thế Nào Là Tam Thức Bậc Hai”, kèm theo các ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế.
1. Định Nghĩa Tam Thức Bậc Hai
Tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có dạng:
f(x) = ax² + bx + c
Trong đó:
- x là biến số.
- a, b, và c là các hệ số, với a ≠ 0. Điều kiện a ≠ 0 là bắt buộc để đảm bảo đây là một biểu thức bậc hai.
Ví dụ:
- f(x) = 2x² + 3x – 5 (a = 2, b = 3, c = -5)
- g(x) = -x² + 4x (a = -1, b = 4, c = 0)
- h(x) = x² – 9 (a = 1, b = 0, c = -9)
2. Giá Trị Của Tam Thức Bậc Hai
Giá trị của tam thức bậc hai f(x) tại một điểm x₀ là giá trị mà biểu thức nhận được khi thay x bằng x₀, ký hiệu là f(x₀).
- Nếu f(x₀) > 0, ta nói f(x) dương tại x₀.
- Nếu f(x₀) < 0, ta nói f(x) âm tại x₀.
- Nếu f(x₀) = 0, thì x₀ là một nghiệm của tam thức bậc hai.
Ví dụ:
Cho tam thức bậc hai f(x) = x² – 5x + 6.
- Tại x = 2: f(2) = 2² – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0. Vậy f(x) có giá trị bằng 0 tại x = 2, hay x=2 là một nghiệm của f(x).
- Tại x = 0: f(0) = 0² – 5(0) + 6 = 6 > 0. Vậy f(x) dương tại x = 0.
3. Nghiệm và Biệt Thức của Tam Thức Bậc Hai
-
Nghiệm của tam thức bậc hai: Là các giá trị của x mà tại đó f(x) = 0. Nói cách khác, nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c là nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.
-
Biệt thức (Discriminant): Biệt thức của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c là biểu thức Δ = b² – 4ac. Biệt thức cho biết số lượng nghiệm của tam thức:
- Nếu Δ > 0: Tam thức có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu Δ = 0: Tam thức có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau).
- Nếu Δ < 0: Tam thức vô nghiệm (không có nghiệm thực).
Ví dụ:
Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 4x + 3.
- a = 1, b = -4, c = 3
- Δ = (-4)² – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 > 0
Vì Δ > 0, tam thức có hai nghiệm phân biệt. Ta giải phương trình x² – 4x + 3 = 0 để tìm nghiệm:
- x₁ = (4 + √4) / 2 = 3
- x₂ = (4 – √4) / 2 = 1
Vậy, tam thức f(x) = x² – 4x + 3 có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.
4. Định Lý Về Dấu Của Tam Thức Bậc Hai
Định lý về dấu của tam thức bậc hai là một công cụ quan trọng để xét dấu của f(x) trên các khoảng số. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).
-
Trường hợp Δ < 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ ℝ. (ℝ là tập hợp số thực)
-
Trường hợp Δ = 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ -b/2a. Tại x = -b/2a, f(x) = 0.
-
Trường hợp Δ > 0: Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm phân biệt của f(x), với x₁ < x₂.
- f(x) cùng dấu với a khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- f(x) trái dấu với a khi x₁ < x < x₂.
Ví dụ:
Xét tam thức bậc hai f(x) = -x² + 5x – 6.
- a = -1, b = 5, c = -6
- Δ = 5² – 4(-1)(-6) = 25 – 24 = 1 > 0
Vì Δ > 0, tam thức có hai nghiệm phân biệt:
- x₁ = ( -5 + √1) / (-2) = 2
- x₂ = (-5 – √1) / (-2) = 3
Vì a = -1 < 0:
- f(x) < 0 khi x < 2 hoặc x > 3.
- f(x) > 0 khi 2 < x < 3.
- f(2) = f(3) = 0.
5. Ứng Dụng Của Tam Thức Bậc Hai
Tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
- Giải bất phương trình bậc hai: Dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai để xác định nghiệm của bất phương trình.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai: Đỉnh của parabol (đồ thị của hàm số bậc hai) cho biết giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.
- Bài toán thực tế: Mô hình hóa các tình huống thực tế liên quan đến quỹ đạo, chi phí, lợi nhuận,…
Ví dụ:
Một công ty sản xuất sản phẩm với chi phí C(x) = x² – 10x + 100 (đơn vị tiền tệ), trong đó x là số lượng sản phẩm. Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để chi phí là thấp nhất.
Bài giải:
Đây là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một tam thức bậc hai. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta tìm hoành độ đỉnh của parabol:
- x = -b / 2a = -(-10) / (21) = 5*
Vậy, công ty cần sản xuất 5 sản phẩm để chi phí là thấp nhất.
6. Tổng Kết
Hiểu rõ “thế nào là tam thức bậc hai” là nền tảng quan trọng để học tốt các phần kiến thức liên quan trong chương trình Toán học. Nắm vững định nghĩa, cách tính giá trị, nghiệm, biệt thức và định lý về dấu của tam thức bậc hai giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán và ứng dụng thực tế. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán.
