Bài toán về Số Cách Sắp Xếp 3 Học Sinh Nam Và 2 Học Sinh Nữ Vào Một Bàn Dài Có 5 Ghế Ngồi Là một dạng bài tập tổ hợp xác suất thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng kiến thức về hoán vị và chỉnh hợp.
Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét các bước giải chi tiết để hiểu rõ cách tính số cách sắp xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào một bàn dài có 5 ghế ngồi là bao nhiêu:
-
Chọn vị trí cho học sinh nữ:
- Chúng ta cần chọn 2 vị trí trong 5 vị trí để xếp 2 học sinh nữ. Số cách chọn này là tổ hợp chập 2 của 5, ký hiệu là C(5, 2) hoặc ⁵C₂.
- Công thức tính tổ hợp: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
- Vậy, C(5, 2) = 5! / (2! 3!) = (5 4) / (2 * 1) = 10 cách.
-
Sắp xếp học sinh nữ vào các vị trí đã chọn:
- Sau khi đã chọn được 2 vị trí, chúng ta cần sắp xếp 2 học sinh nữ vào 2 vị trí này. Số cách sắp xếp là hoán vị của 2, ký hiệu là P(2) hoặc 2!.
- Công thức tính hoán vị: P(n) = n!
- Vậy, P(2) = 2! = 2 * 1 = 2 cách.
-
Sắp xếp học sinh nam vào các vị trí còn lại:
- Sau khi đã xếp học sinh nữ, chúng ta còn lại 3 vị trí trống. Chúng ta cần sắp xếp 3 học sinh nam vào 3 vị trí này. Số cách sắp xếp là hoán vị của 3, ký hiệu là P(3) hoặc 3!.
- Vậy, P(3) = 3! = 3 2 1 = 6 cách.
-
Tính tổng số cách sắp xếp:
- Để tính tổng số cách sắp xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào một bàn dài có 5 ghế ngồi là, chúng ta nhân số cách thực hiện từng bước lại với nhau.
- Tổng số cách = C(5, 2) P(2) P(3) = 10 2 6 = 120 cách.
Vậy, số cách sắp xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào một bàn dài có 5 ghế ngồi là 120.
Để minh họa rõ hơn, ta có thể xem xét một ví dụ cụ thể. Giả sử chúng ta có 3 bạn nam là A, B, C và 2 bạn nữ là X, Y. Một trong những cách sắp xếp có thể là: A X B Y C.
Alt: Sơ đồ minh họa một cách sắp xếp cụ thể 3 học sinh nam (A, B, C) và 2 học sinh nữ (X, Y) vào bàn dài 5 chỗ, thể hiện vị trí tương đối giữa các bạn.
Một cách tiếp cận khác để giải bài toán này là xem xét tổng số cách sắp xếp 5 học sinh (không phân biệt nam nữ) vào 5 vị trí, sau đó chia cho số cách hoán vị của các học sinh cùng giới tính. Tuy nhiên, cách tiếp cận này phức tạp hơn và dễ gây nhầm lẫn.
Bài toán về số cách sắp xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào một bàn dài có 5 ghế ngồi là giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ứng dụng của tổ hợp và hoán vị trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.
