Tôi gặp Stephanie tại một buổi tiệc cocktail ở New York. Chúng tôi trao đổi số điện thoại và hẹn gặp lại nhau sớm. Khi cô ấy gọi và mời tôi đến nhà, đây là cách cô ấy cho tôi biết số nhà của mình: “Tôi sống trên một con phố dài. Các ngôi nhà bên phía nhà tôi được đánh số một, hai, ba, v.v. Tổng tất cả các số ở một bên nhà tôi hoàn toàn bằng tổng tất cả các số ở bên kia nhà tôi. Tôi biết có hơn năm mươi ngôi nhà ở bên đó của con phố, nhưng không nhiều bằng năm trăm.”
Bạn có thể tìm ra số nhà của Stephanie không?
—————-
Giải pháp:
Số nhà ở mỗi bên sẽ cộng lại bằng nhau nếu số nhà là 1 và không có ngôi nhà nào khác, và nếu số là 6 với tổng cộng 8 ngôi nhà, nếu 35 với 49 ngôi nhà, nếu 204 với 288 ngôi nhà, nếu 1189 với 1681 ngôi nhà, v.v. Nhưng chúng ta biết rằng có hơn 50 và ít hơn 500 ngôi nhà, và vì vậy chúng ta bị giới hạn trong một trường hợp duy nhất.
Số nhà phải là 204.
Vậy, Stephanie sống trong ngôi nhà số 204. Con số này thỏa mãn điều kiện mà cô ấy đưa ra, khi tổng các số nhà từ 1 đến 203 cộng lại bằng tổng các số nhà từ 205 đến 288.
Tôi đã hiểu toàn bộ câu hỏi và cả câu trả lời! Nhưng vấn đề của tôi là lấy công thức từ đó có thể suy ra số nhà và tổng số trong mỗi trường hợp (ví dụ: 204 với 288 ngôi nhà).
Cảm ơn trước, Zenith (tái bút câu đố này lại là một trong những câu đố của Shakuntala Devi).
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm một công thức toán học. Gọi số nhà của Stephanie là n, và tổng số nhà trên phố là m. Theo đề bài, ta có:
1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n+1) + (n+2) + … + m
Tổng của các số từ 1 đến (n-1) có thể được tính bằng công thức: (n-1) * n / 2
Tổng của các số từ 1 đến m có thể được tính bằng công thức: m * (m+1) / 2
Do đó, tổng các số từ (n+1) đến m là: m (m+1) / 2 – n (n+1) / 2
Vậy ta có phương trình: (n-1) n / 2 = m (m+1) / 2 – n * (n+1) / 2
Nhân cả hai vế cho 2, ta được: (n-1) n = m (m+1) – n * (n+1)
Sau khi đơn giản hóa, ta có: n^2 – n = m^2 + m – n^2 – n
Tiếp tục đơn giản hóa: 2n^2 = m^2 + m
Nhân cả hai vế cho 4: 8n^2 = 4m^2 + 4m
Thêm 1 vào cả hai vế: 8n^2 + 1 = 4m^2 + 4m + 1
Viết lại vế phải: 8n^2 + 1 = (2m + 1)^2
Đặt x = 2m + 1, ta có: 8n^2 + 1 = x^2
Hoặc: x^2 – 8n^2 = 1
Đây là một phương trình Pell. Giải phương trình Pell này sẽ cho ta các giá trị có thể của n và m. Chúng ta đã biết một nghiệm: n = 204 và m = 288. Từ đó, có thể suy ra các nghiệm khác.
