Trong hình học giải tích không gian Oxyz, trục Oz đóng vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí và biểu diễn các đối tượng hình học. Việc nắm vững Phương Trình Trục Oz là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tọa độ không gian. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện và dễ hiểu về phương trình trục Oz, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả.
Trong không gian Oxyz, trục Oz là trục tung, là một trong ba trục tọa độ vuông góc với nhau. Để xác định phương trình của trục Oz, ta cần hiểu rõ về các yếu tố hình học của nó.
Trục Oz đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương là k = (0, 0, 1).
Vị trí trục Oz trong hệ tọa độ Oxyz
Dựa trên thông tin này, ta có thể viết phương trình tham số của trục Oz như sau:
- x = 0
- y = 0
- z = t
Trong đó, t là tham số thực. Phương trình này cho thấy mọi điểm trên trục Oz đều có tọa độ x và y bằng 0, chỉ có tọa độ z thay đổi.
Phương trình chính tắc của trục Oz:
Vì trục Oz chỉ có một vectơ chỉ phương duy nhất là (0,0,1) và đi qua gốc tọa độ (0,0,0), ta có thể biểu diễn phương trình chính tắc của trục Oz như sau:
x/0 = y/0 = z/1 (với x=0 và y=0)
Phương trình tổng quát của trục Oz:
Phương trình tổng quát của trục Oz có thể được biểu diễn bằng hệ phương trình:
- x = 0
- y = 0
Hệ phương trình này thể hiện rằng mọi điểm nằm trên trục Oz đều có hoành độ và tung độ bằng 0.
Ứng dụng của phương trình trục Oz:
Phương trình trục Oz được sử dụng rộng rãi trong nhiều bài toán hình học không gian, bao gồm:
-
Tìm giao điểm của đường thẳng và trục Oz: Để tìm giao điểm của một đường thẳng và trục Oz, ta thay phương trình của trục Oz vào phương trình của đường thẳng và giải hệ phương trình để tìm giá trị của tham số t. Sau đó, thay giá trị t vào phương trình tham số của trục Oz để tìm tọa độ giao điểm.
-
Tính khoảng cách từ một điểm đến trục Oz: Khoảng cách từ một điểm M(x₀, y₀, z₀) đến trục Oz được tính bằng công thức:
d = √(x₀² + y₀²)
Công thức này cho thấy khoảng cách từ điểm M đến trục Oz chính là độ dài của hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy.
-
Xác định vị trí tương đối của các đối tượng hình học: Phương trình trục Oz giúp ta xác định vị trí tương đối của các đường thẳng, mặt phẳng và các đối tượng hình học khác trong không gian.
Ví dụ minh họa:
Tìm giao điểm của đường thẳng d: x = 1 + t; y = 2 – t; z = 3 + 2t và trục Oz.
Giải:
Để tìm giao điểm, ta thay x = 0 và y = 0 vào phương trình của đường thẳng d:
- 1 + t = 0 => t = -1
- 2 – t = 0 => t = 2
Vì không tồn tại giá trị t thỏa mãn cả hai phương trình, đường thẳng d không cắt trục Oz.
