Phương Trình Chính Tắc của đường thẳng là một công cụ quan trọng trong hình học giải tích, giúp chúng ta biểu diễn và nghiên cứu các đường thẳng một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phương trình này, bao gồm định nghĩa, cách thiết lập và các ví dụ minh họa.
A. Phương Pháp Xác Định Phương Trình Chính Tắc
Để viết phương trình chính tắc của một đường thẳng, chúng ta cần xác định hai yếu tố sau:
- Một điểm thuộc đường thẳng: Giả sử điểm đó là $A(x_0, y_0)$.
- Một vectơ chỉ phương: Giả sử vectơ chỉ phương là $overrightarrow{u}(a; b)$, với $a neq 0$ và $b neq 0$. Điều kiện $ab neq 0$ là bắt buộc để tồn tại phương trình chính tắc.
Khi đó, phương trình chính tắc của đường thẳng được biểu diễn như sau:
Lưu ý: Trường hợp $a = 0$ hoặc $b = 0$, đường thẳng không có phương trình chính tắc.
Các điểm cần chú ý:
- Nếu hai đường thẳng song song, chúng có cùng vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT).
- Nếu hai đường thẳng vuông góc, VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
- Nếu đường thẳng $Delta$ có VTCP $overrightarrow{u} = (a; b)$, thì $overrightarrow{n} = (-b; a)$ là một VTPT của $Delta$.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta$ đi qua $M(1; -3)$ và nhận vectơ $overrightarrow{u} = (1; 2)$ làm vectơ chỉ phương.
A. $Delta: 2x – y – 5 = 0$
B. $Delta: frac{x – 1}{1} = frac{y + 3}{2}$
C. $Delta: frac{x + 1}{1} = frac{y – 3}{2}$
D. $Delta: frac{x – 1}{2} = frac{y + 3}{1}$
Lời giải:
Ta có phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là:
Suy ra phương trình chính tắc của $Delta$ là: $frac{x – 1}{1} = frac{y + 3}{2}$
Chọn B
Hình ảnh minh họa phương trình chính tắc của đường thẳng Delta đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u.
Ví dụ 2: Viết phương thẳng chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm $A( 1; – 2)$ và $B(-2; 3)$ ?
A. $frac{x – 1}{-3} = frac{y + 2}{5}$
B. $frac{x + 2}{-3} = frac{y – 3}{5}$
C. $frac{x – 1}{5} = frac{y + 2}{-3}$
D. $frac{x + 2}{5} = frac{y – 3}{-3}$
Lời giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $overrightarrow{AB} = (-3; 5)$.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $frac{x – 1}{-3} = frac{y + 2}{5}$
Chọn A.
Minh họa phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d đi qua điểm $M(-2; 0)$ nhận vecto $overrightarrow{u}( 2; -3)$ làm VTCP. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?
A. $frac{x + 2}{2} = frac{y}{3}$
B. $frac{x + 2}{2} = frac{y}{-3}$
C. $frac{x – 2}{2} = frac{y}{-3}$
D. $frac{x – 2}{2} = frac{y}{3}$
Lời giải
Đường thẳng d đi qua M và có VTCP là $overrightarrow{u}$.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $frac{x + 2}{2} = frac{y}{-3}$
Chọn B.
Hình ảnh biểu diễn phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Viết phương thẳng chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm $A(-1; 3)$ và $B(5; 1)$ ?
A. $frac{x + 1}{6} = frac{y – 3}{-2}$
B. $frac{x – 5}{6} = frac{y – 1}{2}$
C. $frac{x + 1}{4} = frac{y – 3}{0}$
D. $frac{x – 5}{4} = frac{y – 1}{0}$
Lời giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $overrightarrow{AB} = (6; -2)$.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $frac{x + 1}{6} = frac{y – 3}{-2}$.
Chọn A
Minh họa đường thẳng d có phương trình chính tắc đi qua hai điểm A và B.
Câu 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm $M(3;2)$ nhận vecto $overrightarrow{u}( -4; -2)$ làm VTCP. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?
A. $frac{x – 3}{-4} = frac{y – 2}{2}$
B. $frac{x – 3}{-4} = frac{y – 2}{-2}$
C. $frac{x + 3}{-4} = frac{y + 2}{-2}$
D. $frac{x + 3}{4} = frac{y + 2}{2}$
Lời giải:
Đường thẳng d đi qua M và có VTCP là $overrightarrow{u}$.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $frac{x – 3}{-4} = frac{y – 2}{-2}$.
Chọn B.
Hình ảnh minh họa đường thẳng d có phương trình chính tắc.
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; 2)$ và $B(2; 3)$.
Bài 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta$ đi qua $M(2; 3)$ và nhận vectơ $overrightarrow{u}=(1;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Bài 3. Cho đường thẳng d đi qua điểm $A(–3; 7)$ và $B(2; 4)$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Bài 4. Cho đường thẳng d đi qua điểm $M(3; 5)$ và $N(2; 1)$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Bài 5. Cho đường thẳng d đi qua điểm $M(3; 4)$ nhận vectơ $overrightarrow{u}(1;3)$ làm vectơ chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?
Bài 6. Cho Parabol (P): $y = –x^2$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Hi vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng và có thể áp dụng để giải các bài tập liên quan.
