Giải Bài Toán Thực Tế về Ngọn Hải Đăng và Ứng Dụng Phương Trình

Bài toán về một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4km là một ví dụ điển hình về ứng dụng toán học vào thực tế. Bài toán này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình mà còn giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống thực tế. Chúng ta sẽ cùng phân tích và giải chi tiết bài toán này.

Đề bài: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Sơ đồ minh họa vị trí ngọn hải đăng A, điểm M trên bờ biển, và kho hàng C, thể hiện mối quan hệ khoảng cách và đường đi.

Phân tích bài toán:

Đây là một bài toán liên quan đến việc tối ưu hóa thời gian di chuyển, một dạng bài toán thường gặp trong thực tế. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần:

1. Xác định các biến số: Khoảng cách BM là biến số cần tìm (gọi là x).
2. Biểu diễn các đại lượng khác theo biến số x: AM (khoảng cách chèo thuyền), MC (khoảng cách đi bộ).
3. Lập phương trình dựa trên mối quan hệ giữa thời gian, vận tốc và khoảng cách.
4. Giải phương trình để tìm giá trị của x.

Lời giải chi tiết:

1. Đổi đơn vị: 148 phút = 148/60 giờ = 37/15 giờ.

2. Đặt ẩn: Gọi khoảng cách từ B đến M là x (km, x > 0).

3. Tính các khoảng cách khác:

   • BM = x km
   • MC = BC – BM = 7 – x (km)

4. Tính khoảng cách AM (sử dụng định lý Pythagoras):

   Tam giác ABM vuông tại B, ta có:

   AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x²

   => AM = √(16 + x²)

5. Tính thời gian di chuyển:

   • Thời gian chèo thuyền từ A đến M: t₁ = AM / vận tốc chèo thuyền = √(16 + x²) / 3 (giờ)
   • Thời gian đi bộ từ M đến C: t₂ = MC / vận tốc đi bộ = (7 – x) / 5 (giờ)

6. Lập phương trình:

   Tổng thời gian đi từ A đến C là t₁ + t₂ = 37/15 (giờ). Vậy ta có phương trình:

   √(16 + x²) / 3 + (7 – x) / 5 = 37/15

7. Giải phương trình:

   Nhân cả hai vế của phương trình với 15, ta được:

   5√(16 + x²) + 3(7 – x) = 37

   5√(16 + x²) + 21 – 3x = 37

   5√(16 + x²) = 16 + 3x

   Bình phương cả hai vế:

   25(16 + x²) = (16 + 3x)²

   400 + 25x² = 256 + 96x + 9x²

   16x² – 96x + 144 = 0

   Chia cả hai vế cho 16:

   x² – 6x + 9 = 0

   (x – 3)² = 0

   x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

8. Kết luận:

   Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.

Bài toán về một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4km không chỉ kiểm tra kiến thức về phương trình bậc hai và định lý Pythagoras mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng ứng dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế. Việc giải quyết thành công bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong học tập và cuộc sống.