Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng, việc nắm vững công thức và cách tính Khoảng Cách Từ Một điểm đến Một đường Thẳng là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ về chủ đề này, từ công thức cơ bản đến các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán.
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0
Và điểm M có tọa độ (x₀; y₀).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ký hiệu là d(M, d), được tính theo công thức:
d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)Trong đó:
|ax₀ + by₀ + c|là giá trị tuyệt đối của biểu thứcax₀ + by₀ + c.√(a² + b²)là căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số a và b.
Alt text: Biểu thức toán học minh họa công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0.
Lưu ý quan trọng:
- Đảm bảo phương trình đường thẳng đã được đưa về dạng tổng quát
ax + by + c = 0trước khi áp dụng công thức. - Công thức trên chỉ áp dụng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Ví dụ minh họa cách tính khoảng cách
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1; -1) đến đường thẳng (d): 3x – 4y – 21 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức:
d(M, d) = |3(1) - 4(-1) - 21| / √(3² + (-4)²)
= |-14| / √25
= 14 / 5Vậy, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là 14/5.
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng (d): 8x + 6y – 48 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức:
d(O, d) = |8(0) + 6(0) - 48| / √(8² + 6²)
= |-48| / √100
= 48 / 10
= 4.8Vậy, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là 4.8.
3. Ứng dụng của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học và các lĩnh vực liên quan:
- Tính chiều cao của tam giác: Khoảng cách từ một đỉnh đến cạnh đối diện chính là chiều cao của tam giác.
- Tính diện tích tam giác: Khi biết độ dài một cạnh và chiều cao tương ứng, ta có thể tính diện tích tam giác.
- Xác định vị trí tương đối của điểm và đường thẳng: Dựa vào dấu của biểu thức
ax₀ + by₀ + c, ta có thể xác định điểm nằm phía trên hay phía dưới đường thẳng. - Tìm phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc: Khoảng cách có thể được sử dụng để tìm phương trình đường thẳng thỏa mãn một điều kiện song song hoặc vuông góc với một đường thẳng đã cho.
- Giải các bài toán liên quan đến đường tròn: Khoảng cách từ tâm đường tròn đến một đường thẳng có thể giúp xác định mối quan hệ giữa đường tròn và đường thẳng (tiếp xúc, cắt nhau, không giao nhau).
Alt text: Hình ảnh minh họa đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d), khoảng cách từ tâm O của (C) đến (d) bằng bán kính R của (C).
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(0; 3) và C(4; 0). Tính chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A.
Giải:
Chiều cao kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
-
Tìm phương trình đường thẳng BC:
Vectơ chỉ phương của BC là
BC = (4; -3). Phương trình đường thẳng BC có dạng:3(x - 0) + 4(y - 3) = 0hay3x + 4y - 12 = 0 -
Tính khoảng cách từ A đến BC:
d(A, BC) = |3(1) + 4(2) - 12| / √(3² + 4²) = |-1| / 5 = 1/5
Vậy, chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A là 1/5.
4. Bài tập tự luyện
- Tính khoảng cách từ điểm M(3; -2) đến đường thẳng d: 4x – 3y + 1 = 0.
- Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: x + 2y – 5 = 0.
- Cho tam giác ABC với A(2; 1), B(4; 3) và C(5; -2). Tính diện tích tam giác ABC.
- Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 và cách điểm M(1; 1) một khoảng bằng √5.
Lời kết
Nắm vững công thức và các ứng dụng của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học phẳng. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này và tự tin đối mặt với mọi thử thách. Chúc các bạn học tốt!
