Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng là một trong những bài toán quan trọng và thường gặp. Đặc biệt, đối với hai đường thẳng chéo nhau, việc tìm ra khoảng cách trở nên phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa, các phương pháp tính toán hiệu quả, cùng các bài tập minh họa chi tiết để nắm vững kiến thức này.
1. Định Nghĩa Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng có thể có các vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song hoặc chéo nhau. Khi hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng được định nghĩa là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng. Đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
Lưu ý quan trọng: Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là duy nhất.
2. Các Phương Pháp Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, bạn cần nắm vững các kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, cách dựng hình chiếu vuông góc. Dưới đây là 3 phương pháp thường được sử dụng nhất:
2.1. Phương Pháp 1: Dựng Đoạn Vuông Góc Chung và Tính Độ Dài
Đây là phương pháp trực quan và thường được sử dụng nhất.
Công thức:
Cách thực hiện:
Khi hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau, thường tồn tại một mặt phẳng () chứa a và vuông góc với b.
- Bước 1: Tìm giao điểm H của b và ().
- Bước 2: Trong mặt phẳng (), dựng HK vuông góc với a tại K. Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung.
- Bước 3: Tính độ dài HK.
Lưu ý: Phương pháp này hiệu quả khi hai đường thẳng vuông góc nhau. Nếu không, việc dựng đường vuông góc chung sẽ rất phức tạp.
Ví dụ:
2.2. Phương Pháp 2: Tính Khoảng Cách Từ Đường Thẳng Đến Mặt Phẳng Song Song
Khi hai đường thẳng a và b chéo nhau nhưng không vuông góc, ta áp dụng phương pháp này:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa b và song song với a.
- Bước 2: Dựng đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của a xuống (α). Lấy điểm M thuộc a, dựng MN vuông góc với (α). d đi qua N và song song với a.
- Bước 3: Gọi H là giao điểm của d và b, dựng HK song song với MN.
Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung, và khoảng cách cần tìm là MN.
Ví dụ:
Ví dụ 1: (Trích đề minh họa THPT Quốc gia 2020) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại A, AC=4a, AB=2a. M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Giải:
Gọi N là trung điểm AC. Ta có BC // MN, MN nằm trong (SMN), BC không nằm trong (SMN). Suy ra d(BC,SM) = d(BC,(SMN)) = d(B,(SMN)).
Vì AB cắt (SMN) tại trung điểm M, nên:
Kẻ AH ⊥ MN và AK ⊥ SH. Áp dụng công thức hình chóp có 3 cạnh đôi một vuông góc:
Thay số, ta được .
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a, SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa AB và SC.
Giải:
Ta có AB // CD => AB // (SCD). Do đó:
Kẻ đường cao AK thuộc tam giác SAD, ta có khoảng cách cần tìm là:
2.3. Phương Pháp 3: Tính Khoảng Cách Giữa Hai Mặt Phẳng Song Song
Phương pháp này chuyển việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, mỗi mặt phẳng chứa một đường thẳng.
Công thức:
Lưu ý: Thường dùng khi việc kẻ đường thẳng song song gặp khó khăn.
Ví dụ:
Ví dụ 1: (Đề ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa B’D và A’B theo a.
Giải:
Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình bình hành với AD=2a, AB=a, góc BAD bằng 60 độ và . M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BD và DD’. Hình chiếu vuông góc của B lên AD là H. Tính khoảng cách giữa MN và HP.
Giải:
3. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy cùng giải các bài tập sau:
Bài 1:
Giải:
Bài 2:
Giải:
Bài 3:
Giải:
(Các bài tập 4-10 và lời giải tương tự được lược bỏ để tránh lặp lại)
Việc nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để chinh phục các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Chúc bạn thành công!
