Trong các bài toán về xác suất, việc tính toán khả năng xảy ra của một sự kiện luôn là một thử thách thú vị. Một dạng bài tập điển hình là liên quan đến việc lấy bi từ các hộp, và bài viết này sẽ tập trung vào một ví dụ cụ thể: Hộp A Có 4 Viên Bi Trắng 5 Viên Bi đỏ Và 6 Viên Bi Xanh. Chúng ta sẽ xem xét bài toán này dưới nhiều góc độ khác nhau, từ cách giải cơ bản đến các biến thể phức tạp hơn.
Bài toán gốc:
Cho hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải chi tiết:
Để giải bài toán này, ta cần xét các trường hợp mà hai viên bi lấy ra có cùng màu:
-
Trường hợp 1: Cả hai viên bi đều màu trắng.
- Xác suất lấy được bi trắng từ hộp A là 4/15 (4 viên trắng trên tổng số 15 viên).
- Xác suất lấy được bi trắng từ hộp B là 7/18 (7 viên trắng trên tổng số 18 viên).
- Xác suất cả hai hộp đều lấy được bi trắng là (4/15) * (7/18) = 28/270.
-
Trường hợp 2: Cả hai viên bi đều màu đỏ.
- Xác suất lấy được bi đỏ từ hộp A là 5/15 = 1/3.
- Xác suất lấy được bi đỏ từ hộp B là 6/18 = 1/3.
- Xác suất cả hai hộp đều lấy được bi đỏ là (1/3) * (1/3) = 1/9 = 30/270.
-
Trường hợp 3: Cả hai viên bi đều màu xanh.
- Xác suất lấy được bi xanh từ hộp A là 6/15 = 2/5.
- Xác suất lấy được bi xanh từ hộp B là 5/18.
- Xác suất cả hai hộp đều lấy được bi xanh là (2/5) * (5/18) = 1/9 = 30/270.
Tổng xác suất để hai viên bi lấy ra có cùng màu là tổng xác suất của ba trường hợp trên:
P(cùng màu) = 28/270 + 30/270 + 30/270 = 88/270 = 44/135.
Vậy, xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là 44/135.
Ảnh minh họa các trường hợp lấy bi khác màu từ hai hộp, nhấn mạnh sự đa dạng màu sắc và khả năng kết hợp khác nhau.
Mở rộng và biến thể:
Bây giờ, hãy cùng xem xét một số biến thể của bài toán gốc, tập trung vào hộp A với 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.
-
Biến thể 1: Lấy hai viên bi từ hộp A (lấy có hoàn lại).
- Tính xác suất để cả hai viên bi đều màu trắng.
- Tính xác suất để cả hai viên bi có màu khác nhau.
-
Biến thể 2: Lấy hai viên bi từ hộp A (lấy không hoàn lại).
- Tính xác suất để viên bi thứ hai màu đỏ, biết rằng viên bi thứ nhất màu trắng.
- Tính xác suất để có ít nhất một viên bi màu xanh.
-
Biến thể 3: Thêm một hộp C có chứa các viên bi với số lượng khác. Lấy ngẫu nhiên một hộp từ ba hộp A, B, và C, sau đó lấy ra một viên bi. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ.
Ví dụ về biến thể 1 (lấy có hoàn lại):
- Xác suất lấy được viên bi trắng lần thứ nhất là 4/15.
- Vì lấy có hoàn lại, xác suất lấy được viên bi trắng lần thứ hai vẫn là 4/15.
- Vậy, xác suất để cả hai viên bi đều màu trắng là (4/15) * (4/15) = 16/225.
Ví dụ về biến thể 2 (lấy không hoàn lại):
- Xác suất lấy được viên bi trắng lần thứ nhất là 4/15.
- Sau khi lấy một viên bi trắng, hộp A còn lại 14 viên bi, trong đó có 3 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.
- Xác suất lấy được viên bi đỏ lần thứ hai là 5/14.
- Vậy, xác suất để viên bi thứ hai màu đỏ, biết rằng viên bi thứ nhất màu trắng là (4/15) * (5/14) = 2/21.
Kết luận:
Các bài toán xác suất liên quan đến việc lấy bi từ hộp, đặc biệt là khi hộp a có 4 viên bi trắng 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh, cung cấp một nền tảng tuyệt vời để rèn luyện tư duy logic và kỹ năng tính toán. Việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản và áp dụng chúng vào các biến thể khác nhau sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán xác suất phức tạp hơn.
