Trong hình học không gian, bài toán tìm hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng hoặc mặt phẳng là một dạng toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức về Hình Chiếu Của 1 điểm.
Phương Pháp Xác Định Hình Chiếu Vuông Góc
Để tìm hình chiếu của 1 điểm, ta cần phân biệt hai trường hợp chính: hình chiếu lên đường thẳng và hình chiếu lên mặt phẳng.
1. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng
Cho điểm A và đường thẳng d. Để tìm hình chiếu H của A lên d, ta thực hiện các bước sau:
-
Viết phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Vectơ pháp tuyến của (P) chính là vectơ chỉ phương của d.
-
Tìm giao điểm H: Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng d và phương trình mặt phẳng (P). Nghiệm của hệ này chính là tọa độ điểm H, hình chiếu của 1 điểm A trên d.
2. Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
Cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu H của A lên (P), ta thực hiện các bước sau:
-
Viết phương trình đường thẳng d: Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Vectơ chỉ phương của d chính là vectơ pháp tuyến của (P).
-
Tìm giao điểm H: Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng d và phương trình mặt phẳng (P). Nghiệm của hệ này chính là tọa độ điểm H, hình chiếu của 1 điểm A trên (P).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 1) trên đường thẳng d: (x+2)/1 = (y-1)/2 = (z+1)/-2.
Lời giải:
-
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
u = (1; 2; -2). -
Mặt phẳng (P) chứa A(1; 2; 1) và vuông góc với d có phương trình:
1(x - 1) + 2(y - 2) - 2(z - 1) = 0hayx + 2y - 2z - 3 = 0. -
Tham số hóa đường thẳng d:
x = t - 2; y = 2t + 1; z = -2t - 1. -
Thay vào phương trình (P) ta có:
(t - 2) + 2(2t + 1) - 2(-2t - 1) - 3 = 0=>t = 1/9. -
Vậy hình chiếu H có tọa độ:
H(-17/9; 11/9; -11/9).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P).
Lời giải:
-
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
n = (2; -1; 2). -
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình:
(x-1)/2 = (y+1)/-1 = (z-2)/2 -
Tham số hóa đường thẳng d:
x = 1 + 2t; y = -1 - t; z = 2 + 2t. -
Thay vào phương trình (P) ta có:
2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 2 = 0=>t = -1. -
Vậy hình chiếu H có tọa độ:
H(-1; 0; 0).
Ví dụ 3: Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/-1 = z/2. Tìm tọa độ H là hình chiếu của 1 điểm M trên d.
Lời giải:
-
Phương trình tham số của d:
x = 1 + 2t; y = -1 - t; z = 2t -
Gọi H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d.
-
Vectơ
MH = (2t - 1; -t; 2t - 8) -
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
u = (2; -1; 2) -
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
MH.u = 0⇔
2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0⇔t = 2
=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; – 3; 4)
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 1; 0) trên đường thẳng d: x/-2 = y/1 = (z+7)/-2.
Câu 2: Cho M(0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z + 2 = 0. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a + b + c?
Câu 3: Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng d: x/-1 = (y-2)/-2 = (z-2)/1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: (x+3)/-2 = (y-4)/1 = (z+2)/3 và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
Tổng Kết
Việc nắm vững phương pháp tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng và mặt phẳng là rất quan trọng trong chương trình hình học không gian. Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo dạng toán này.
