Trong giải tích, việc xác định điều kiện để một hàm số đạt cực tiểu tại một điểm cho trước là một bài toán quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào trường hợp “Hàm Số đạt Cực Tiểu Tại X=2 Khi”, đi sâu vào các điều kiện cần và đủ, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng.
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=2, chúng ta cần xem xét đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số đó.
Điều kiện cần:
Nếu hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 2, thì đạo hàm bậc nhất của hàm số tại điểm đó phải bằng 0, tức là:
f'(2) = 0
Điều kiện đủ:
Ngoài điều kiện cần, để khẳng định hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, ta cần kiểm tra đạo hàm bậc hai. Cụ thể:
f”(2) > 0
Nếu đạo hàm bậc hai tại x = 2 lớn hơn 0, thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó.
Xét ví dụ cụ thể:
Cho hàm số y = x³ – 3x² + mx – 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Giải:
Đầu tiên, ta tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số:
y’ = 3x² – 6x + m
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y'(2) = 0. Thay x = 2 vào y’, ta có:
3(2)² – 6(2) + m = 0
12 – 12 + m = 0
m = 0
Ảnh minh họa đạo hàm bậc nhất của hàm số bậc ba, thể hiện sự biến thiên để xác định điểm cực tiểu.
Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện đủ. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số:
y” = 6x – 6
Tính y”(2):
y”(2) = 6(2) – 6 = 12 – 6 = 6
Vì y”(2) = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi m = 0.
Ảnh công thức toán học minh họa điều kiện để một hàm số đạt cực tiểu tại một điểm, tập trung vào đạo hàm bậc nhất và bậc hai.
Các bước tổng quát để xác định hàm số đạt cực tiểu tại x = 2:
- Tính đạo hàm bậc nhất f'(x) của hàm số f(x).
- Giải phương trình f'(2) = 0 để tìm giá trị của các tham số (nếu có).
- Tính đạo hàm bậc hai f”(x) của hàm số f(x).
- Thay x = 2 và giá trị tham số tìm được vào f”(x).
- Nếu f”(2) > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài tập vận dụng:
- Cho hàm số f(x) = x⁴ – 4x³ + a. Tìm a để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
- Tìm m để hàm số g(x) = x² + mx + 5 đạt cực tiểu tại x = 2.
- Xét hàm số h(x) = (x – 2)² + b. Xác định giá trị của b để giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3.
Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc về điều kiện “hàm số đạt cực tiểu tại x=2 khi” và cách áp dụng chúng vào giải các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng thực tế.
