1. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Trong hình học không gian lớp 12, khái niệm hai mặt phẳng vuông góc là một kiến thức quan trọng. Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Điều này dẫn đến một hệ quả quan trọng về mối quan hệ giữa các vectơ pháp tuyến của chúng.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là:
- (P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
- (Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0
Khi đó, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0:
A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0
Điều này có nghĩa là, nếu gọi $overrightarrow{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ và $overrightarrow{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q), thì:
$overrightarrow{n_1}.overrightarrow{n_2} = 0$
2. Các dạng bài tập thường gặp về hai mặt phẳng vuông góc
- Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Cho phương trình của hai mặt phẳng, chứng minh chúng vuông góc bằng cách kiểm tra tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.
- Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước: Cho một điểm và một mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho. Bài toán này thường sử dụng điều kiện vuông góc để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.
- Dạng 3: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Bài toán này thường chứa tham số. Dựa vào điều kiện hai mặt phẳng vuông góc, ta thiết lập một phương trình hoặc hệ phương trình để tìm giá trị của tham số.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x – y + mz – 2 = 0. Tìm m để (P) vuông góc với (Q).
Giải:
Vectơ pháp tuyến của (P) là $overrightarrow{n_P} = (1; 2; -1)$.
Vectơ pháp tuyến của (Q) là $overrightarrow{n_Q} = (2; -1; m)$.
Để (P) vuông góc với (Q), ta có: $overrightarrow{n_P}.overrightarrow{n_Q} = 0$
<=> 1.2 + 2.(-1) + (-1).m = 0
<=> 2 – 2 – m = 0
<=> m = 0
Vậy m = 0 thì hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và (Q): x – y + 2z = 0.
Giải:
Vì (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên vectơ pháp tuyến của (R) vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của (P) và (Q). Do đó, ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của (R) là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).
$overrightarrow{n_P} = (1; 1; 1)$
$overrightarrow{n_Q} = (1; -1; 2)$
$overrightarrow{n_R} = [overrightarrow{n_P}, overrightarrow{n_Q}] = (3; -1; -2)$
Phương trình mặt phẳng (R) có dạng: 3(x – 1) – (y – 1) – 2(z – 1) = 0
<=> 3x – y – 2z = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (R) là 3x – y – 2z = 0.
4. Bài tập tự luyện
- Cho mặt phẳng (P): x – y + 2z – 3 = 0 và điểm A(1; 2; -1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).
- Tìm m để hai mặt phẳng (P): mx + y – z + 1 = 0 và (Q): x – my + z – 2 = 0 vuông góc với nhau.
- Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P): 2x – y + z = 0 và (Q): x + y – 3z = 0.
- Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – y + mz – 1 = 0. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng bằng 45 độ. (Gợi ý: Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng).
5. Ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc
Kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong giải quyết các bài toán hình học không gian, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến:
- Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng.
- Tính thể tích của các khối đa diện.
- Giải các bài toán thực tế liên quan đến kiến trúc, xây dựng.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập về hai mặt phẳng vuông góc là chìa khóa để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi.
Alt: Minh họa trực quan hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc trong không gian Oxyz, thể hiện rõ góc vuông 90 độ giữa chúng, giúp học sinh dễ hình dung và nắm bắt khái niệm hai mặt phẳng vuông góc trong chương trình Toán lớp 12.
6. Tổng kết
Bài viết này đã trình bày một cách chi tiết về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc trong chương trình Toán lớp 12, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này. Chúc các bạn học tốt!
