Góc Tạo Bởi đường Thẳng Và Trục Ox là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức.
1. Định Nghĩa Góc Tạo Bởi Đường Thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và Trục Ox
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình y = ax + b (với a khác 0). Góc α tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó:
- A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox.
- T là một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương.
Lưu ý: Giá trị của góc α nằm trong khoảng từ 0° đến 180° (0° < α < 180°).
Nhận Xét Quan Trọng:
- Hệ số góc dương (a > 0): Đường thẳng tạo với trục Ox một góc nhọn. Khi hệ số a càng lớn, góc nhọn đó càng lớn.
- Hệ số góc âm (a < 0): Đường thẳng tạo với trục Ox một góc tù. Khi hệ số a càng âm (tức là giá trị tuyệt đối của a càng lớn), góc tù đó càng lớn.
Hình ảnh minh họa đường thẳng y = ax + b cắt trục Ox tạo thành góc α. Giao điểm A và điểm T trên đường thẳng được thể hiện rõ ràng, giúp học sinh hình dung trực quan về định nghĩa góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Điền vào chỗ trống để được khẳng định đúng:
a) Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox. Khi đó, …
b) Khi a … 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox là góc nhọn.
c) Khi a … 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox là góc tù.
Giải:
a) Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox. Khi đó, 0° < α < 180°.
b) Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox là góc nhọn.
c) Khi a < 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox là góc tù.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d1): y = 2x + 5 và đường thẳng (d2): y = 3x + 5. Gọi α là góc tạo bởi (d1) và trục Ox, β là góc tạo bởi (d2) và trục Ox. So sánh α và β.
Giải:
Ta có: Hệ số góc của (d1) là 2 và hệ số góc của (d2) là 3. Vì 2 < 3 và cả hai hệ số góc đều dương, nên góc tạo bởi đường thẳng có hệ số góc lớn hơn sẽ lớn hơn.
Vậy, α < β.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): y = mx + 3 (m ≠ 0) đi qua điểm A(7; 0).
a) Tìm m.
b) Góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox là góc nhọn hay góc tù? Vì sao?
Giải:
a) Vì (d) đi qua A(7; 0) nên thay x = 7, y = 0 vào phương trình, ta được:
0 = 7m + 3 => m = -3/7 (thỏa mãn điều kiện m ≠ 0).
b) Vì m = -3/7 < 0, nên góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox là góc tù.
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b khi a < 0, thể hiện đường thẳng dốc xuống và tạo với trục Ox một góc tù. Hình ảnh giúp học sinh nhận biết trực quan mối liên hệ giữa hệ số góc âm và góc tù.
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Xác định góc tạo bởi các đường thẳng sau với trục Ox là góc nhọn hay góc tù. Giải thích.
- (d1): y = 5x + 1
- (d2): y = -2x + 3
- (d3): y = 1/2x – 4
- (d4): y = 6 – 7x
Bài 2: Cho hàm số y = ax + 1 (a ≠ 0). Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm B(2; 7).
a) Tìm a. Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Xác định góc tạo bởi đường thẳng vừa tìm được và trục Ox là góc nhọn hay góc tù?
Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = ax + b và (d2): y = a’x + b’. Biết rằng góc tạo bởi (d1) và trục Ox lớn hơn góc tạo bởi (d2) và trục Ox. So sánh a và a’ trong các trường hợp sau:
a) a > 0 và a’ > 0
b) a < 0 và a’ < 0
c) a > 0 và a’ < 0
Bài 4: Cho ba đường thẳng (d1): y = 3x – 1, (d2): y = -x + 5, (d3): y = x + 2. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi (d1), (d2), (d3) và trục Ox. Sắp xếp các góc α, β, γ theo thứ tự tăng dần.
Bài 5: Cho hàm số y = -x + 3. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số và trục Ox (gợi ý: sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác).
Hình ảnh minh họa một đường thẳng cắt trục Ox tại một điểm, nhấn mạnh vào giao điểm này và góc tạo thành. Hình ảnh này giúp học sinh liên tưởng đến cách xác định góc α thông qua giao điểm và một điểm khác trên đường thẳng.
Hy vọng bài viết này cung cấp đầy đủ kiến thức và bài tập giúp các em học sinh lớp 8 nắm vững khái niệm “góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox”. Chúc các em học tốt!
