Tìm Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu Thức f(x, y) = x + 2y: Phương Pháp và Ứng Dụng

Bài toán tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức ràng buộc bởi các bất phương trình là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ tập trung vào việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) = x + 2y với các ràng buộc cho trước, đồng thời mở rộng kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp giải

Để tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) = x + 2y, ta thường sử dụng phương pháp hình học kết hợp với kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy trình chung bao gồm các bước sau:

1. Biểu diễn miền nghiệm: Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Miền nghiệm này là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.

2. Xác định các đỉnh: Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm. Các đỉnh này là giao điểm của các đường thẳng biên của miền nghiệm.

3. Tính giá trị của f(x, y) tại các đỉnh: Thay tọa độ của từng đỉnh vào biểu thức f(x, y) = x + 2y để tính giá trị của biểu thức tại đỉnh đó.

4. Kết luận: So sánh các giá trị vừa tính được. Giá trị lớn nhất trong số đó chính là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) trên miền nghiệm.

Ví dụ minh họa

Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) = x + 2y với các ràng buộc sau:

• x – y – 1 ≤ 0
• x + 2y – 10 ≤ 0
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Bước 1: Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm. Trong ví dụ này, ta có các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(4, 3) và C(0, 5).

Bước 3: Tính giá trị của f(x, y) = x + 2y tại các đỉnh:

• f(0, 0) = 0 + 2(0) = 0
• f(1, 0) = 1 + 2(0) = 1
• f(4, 3) = 4 + 2(3) = 10
• f(0, 5) = 0 + 2(5) = 10

Bước 4: Kết luận. Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là 10. Vậy, giá trị lớn nhất của f(x, y) = x + 2y trên miền nghiệm là 10, đạt được tại các đỉnh B(4, 3) và C(0, 5).

Lý thuyết bổ sung về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Là bất phương trình có dạng ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, hoặc ax + by + c ≥ 0, trong đó a, b, c là các số thực cho trước và a, b không đồng thời bằng 0.

• Nghiệm của bất phương trình: Là cặp số (x0, y0) thỏa mãn bất phương trình.

• Miền nghiệm: Là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.

• Biểu diễn miền nghiệm: Để biểu diễn miền nghiệm, ta vẽ đường thẳng ax + by + c = 0 và xác định nửa mặt phẳng thỏa mãn bất phương trình.

Các dạng bài toán liên quan

Ngoài việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, còn có nhiều dạng bài toán khác liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bao gồm:

• Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.
• Kiểm tra xem một điểm có thuộc miền nghiệm hay không.
• Giải các bài toán thực tế có ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn (ví dụ: bài toán tối ưu hóa sản xuất, phân bổ nguồn lực).

Kết luận

Việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) = x + 2y với các ràng buộc cho trước là một bài toán quan trọng, giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế. Nắm vững phương pháp hình học và kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán tương tự.