Phương pháp xác định điều kiện
Để một biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa (xác định), ta cần đảm bảo biểu thức dưới dấu căn không âm. Đồng thời, nếu biểu thức chứa căn nằm ở mẫu số, mẫu số đó phải khác 0.
- Căn bậc hai của A xác định ⇔ A ≥ 0.
- Phân thức A/B xác định ⇔ B ≠ 0.
Ví dụ minh họa điều kiện xác định
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của x cho các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức √(-7x) xác định khi và chỉ khi:
-7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là x ≤ 0.
b) Biểu thức √(2x + 6) xác định khi và chỉ khi:
2x + 6 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -6 ⇔ x ≥ -3.
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ -3.
Ví dụ 2: Xác định điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức √(x+2)(x-3) xác định khi và chỉ khi:
(x + 2)(x – 3) ≥ 0
Xét dấu của tích (x + 2)(x – 3):
- x < -2: (x + 2) < 0 và (x – 3) < 0 => (x + 2)(x – 3) > 0
- -2 ≤ x ≤ 3: (x + 2) ≥ 0 và (x – 3) ≤ 0 => (x + 2)(x – 3) ≤ 0
- x > 3: (x + 2) > 0 và (x – 3) > 0 => (x + 2)(x – 3) > 0
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 3 hoặc x ≤ -2.
b) Biểu thức √(x^4 – 16) xác định khi và chỉ khi:
x^4 – 16 ≥ 0
⇔ (x^2 – 4)(x^2 + 4) ≥ 0
⇔ (x – 2)(x + 2)(x^2 + 4) ≥ 0
Vì x^2 + 4 > 0 với mọi x, nên (x – 2)(x + 2) ≥ 0.
Xét dấu của tích (x – 2)(x + 2):
- x < -2: (x – 2) < 0 và (x + 2) < 0 => (x – 2)(x + 2) > 0
- -2 ≤ x ≤ 2: (x – 2) ≤ 0 và (x + 2) ≥ 0 => (x – 2)(x + 2) ≤ 0
- x > 2: (x – 2) > 0 và (x + 2) > 0 => (x – 2)(x + 2) > 0
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 2 hoặc x ≤ -2.
c) Biểu thức 1/(x + 5) xác định khi và chỉ khi:
x + 5 ≠ 0
⇔ x ≠ -5.
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ -5.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Biểu thức M xác định khi:
Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại x thỏa mãn.
Vậy, không có giá trị nào của x làm cho hàm số xác định.
Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Biểu thức P xác định khi:
Giải (*): (3 – a)(a + 1) ≥ 0
⇔ -1 ≤ a ≤ 3
Kết hợp với điều kiện a ≥ 0 và a ≠ 4, ta suy ra 0 ≤ a ≤ 3.
Vậy, với 0 ≤ a ≤ 3 thì biểu thức P xác định.
Bài tập trắc nghiệm điều kiện xác định
Bài 1: Biểu thức √(x-1) xác định khi:
A. x ≤ 1 B. x ≥ 1 C. x > 1 D. x Đáp án: B
Giải thích: √(x-1) xác định ⇔ x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Bài 2: √(-(x-1)^2) xác định khi:
A. x ≥ 1 B. x ≤ 1 C. x = 1 D. x ∈ ∅.
Đáp án: C
Bài 3: √(-x/(x-1)) xác định khi:
A. x ≥ 3 và x ≠ -1 B. x ≤ 0 và x ≠ 1 C. x ≥ 0 và x ≠ 1 D. x ≤ 0 và x ≠ -1
Đáp án: D
Bài 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/√(x-2) xác định?
A. x ≠ 2 B. x ≤ 2 C. x > 2 D. x ≥ 2.
Đáp án: C
Bài 5: Biểu thức √(x/(4-x)) xác định khi:
A. x ≥ -4 B. x ≥ 0 và x ≠ 4 C. x ≥ 0 D. x = 4.
Đáp án: B
Bài 6: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải:
a) √(-x) xác định ⇔ -x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
b) √(2x + 3) xác định ⇔ 2x + 3 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -3 ⇔ x ≥ -3/2
c) √(5 – 2x) xác định ⇔ 5 – 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 5 ⇔ x ≤ 5/2
d) 1/(x – 1) xác định ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
Bài 7: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải:
a) √(2x + 1)(x – 2) xác định ⇔ (2x + 1)(x – 2) ≥ 0
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị x ≥ 2 hoặc x ≤ -1/2.
b) √(x + 3)(3 – x) xác định ⇔ (x + 3)(3 – x) ≥ 0
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị x thỏa mãn -3 ≤ x ≤ 3.
c) √(|x + 2|) xác định ⇔ |x + 2| ≥ 0 (thỏa mãn với mọi x)
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của x.
d) √((x – 1)(x – 2)(x – 3)) xác định ⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≥ 0.
Từ bảng xét dấu, nhận thấy (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≥ 0 nếu 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3.
Bài 8: Khi nào các biểu thức sau tồn tại?
Hướng dẫn giải:
a) √((a – 2)^2) xác định ⇔ (a – 2)^2 ≥ 0 (đúng với mọi a)
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của a.
b) √(a^2 + 1) xác định với mọi a.
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của a.
c) √((a – 3)(a + 3)) xác định ⇔ (a – 3)(a + 3) ≥ 0
Vậy biểu thức xác định với các giá trị a ≥ 3 hoặc a ≤ -3.
d) Ta có: a^2 + 4 > 0 với mọi a nên biểu thức √(1/(a^2 + 4)) luôn xác định với mọi a.
Bài 9: Mỗi biểu thức sau xác định khi nào?
Hướng dẫn giải:
a) 1/√((x – 2)) xác định
⇔ x – 2 > 0 ⇔ x > 2.
b) 1/√((x^2 – 3x + 2)) xác định
⇔ x^2 – 3x + 2 > 0
⇔ (x – 2)(x – 1) > 0
Vậy biểu thức xác định khi x > 2 hoặc x < 1.
c) √(1-x) + 1/√(x+2) xác định
Giải (*): √(1-x) xác định khi 1-x >=0 => x<= 1
Giải (**): 1/√(x+2) xác định khi x+2 > 0 => x > -2
Kết hợp (*) và () ta được -2
Bài 10:** Tìm điều kiện xác định của biểu thức :
Hướng dẫn giải:
Biểu thức P xác định khi:
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức P là x ≥ 0 và x ≠ 1.
Bài tập tự luyện về điều kiện xác định
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √(x-2) / (5-x)
b) √(-3x) / (x^2-1)
c) (3x-2) / √(x^2-2x+4)
d) √(7-x) / (-1+√1)
Bài 2. Cho hai biểu thức A = √(x+2)/(x+3) và B = (x+2)/√(x+3).
a) Tìm điều kiện xác định của A và B;
b) Với giá trị nào của x thì A = B?
Bài 3. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) (a√b + b√a) / (√a+√b – √a√b)
b) (2+√(a-a)) / (√(a-1)√(2-a) + √(a+1))
c) 15/(√(a-1)) – 11/(√(a+2)) – (√(a-3) – 3)/(√(a+3))
Bài 4. Cho biểu thức (x−y)/(1+xy) + (x+y)/(1−xy) : (x+y+2xy)/(1−xy) + 1.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức;
b) Rút gọn biểu thức.
Bài 5. Cho biểu thức P = (x+2)/(x−5x+6)−(x+3)/(2−x)−(x+2)/(x−3) : (2−x)/(x+1).
a) Tìm điều kiện xác định của P;
b) Rút gọn P;
c) Tìm x để 1/P ≤ −5/2.
Bài 6. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √3x;
b) √(5−2x);
c) 1/(√x−1);
d) √(-4x^2).
Bài 7. Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có ý nghĩa?
a) √(a^2);
b) √(-4a);
c) √(3a+2);
d) √(5−a).
Bài 8. Tìm x để mỗi căn thức sau có ý nghĩa:
a) √(3x−1);
b) √(4x−2);
c) √(x^2+1);
d) √(4/(2x−1)).
Bài 9. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) A = √(x+√(x+1));
b) B = √(√(x−2)−√(x−3));
c) C = √(x−2)/(√(x+3)).
Bài 10. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) A = √(x+√(x+1));
b) B = √(√(x−2)−√(x−3));
c) √(x−2)/(√(x+3)).
