Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng về đề Nguyên Hàm?
A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).
B. 3x² là một nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).
C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).
D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln(x) trên (0;+∞).
Giải thích:
Dựa vào định lý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R.
Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).
Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.
Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln(x) trên (0; +∞).
Vậy chọn đáp án C.
Câu 2: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x) = 2x – sin(2x)?
A. x² + (1/2)cos(2x)
B. x² + cos(2x)
C. x² – sin²(x)
D. x² + cos(2x)
Giải thích:
Ta có: ∫(2x – sin(2x))dx = 2∫xdx – ∫sin(2x)dx
D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của ∫(1/(x√(lnx))) dx
A. √(lnx) + C
B. 2lnx + C
C. 2√(lnx) + C
D. (1/2)√(lnx) + C
Giải thích:
Đặt t = lnx => dt = 1/x dx
Khi đó ∫(1/(x√(lnx))) dx = ∫(1/√t) dt
= 2√t + C = 2√(lnx) + C
Vậy chọn đáp án C.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của ∫(x/(x²+1))dx
A. ln(x²+1) + C
B. (1/2)ln(x²+1) + C
C. 2ln(x²+1) + C
D. ln|x| – arctan(x) + C
Giải thích:
Đặt u = x² + 1 => du = 2xdx => xdx = (1/2)du
Khi đó ∫(x/(x²+1))dx = (1/2)∫(1/u)du = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln(x²+1) + C
Vậy chọn đáp án B.
Lưu ý: Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của ∫(eˣ/(eˣ+1))dx
A. ln|eˣ+1| + C
B. eˣln|eˣ+1| + C
C. e⁻ˣln|eˣ+1| + C
D. -ln|eˣ+1| + C
Giải thích:
Đặt u = eˣ + 1 => u’ = eˣ. Ta có
∫(eˣ/(eˣ+1))dx = ∫(1/u)du = ln|u| + C = ln(eˣ+1) + C. Vậy chọn đáp án A.
Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cos(x)sin(x)?
A. (1/2)sin²(x)
B. -(1/2)cos²(x)
C. -(1/4)cos(2x)
D. sin(x) + cos(x)
Giải thích:
Cách 1:
Tính đạo hàm của từng đáp án và so sánh với f(x).
Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số:
Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u’dx = -∫udu
Vậy chọn đáp án D.
Câu 7: Tìm I = ∫(3x² – x + 1)eˣdx
A. I = (3x² – 7x + 8)eˣ + C
B. I = (3x² – 7x)eˣ + C
C. I = (3x² – 7x + 8) + eˣ + C
D. I = (3x² – 7x + 3)eˣ + C
Giải thích:
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Đặt u = 3x² – x + 1 và dv = eˣdx ta có du = (6x – 1)dx và v = eˣ . Do đó:
∫(3x² – x + 1)eˣdx = (3x² – x + 1)eˣ – ∫(6x – 1)eˣdx
Đặt u₁ = 6x – 1; dv₁ = eˣdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = eˣ .
Do đó ∫(6x – 1)eˣdx = (6x – 1)eˣ – 6∫eˣdx = (6x – 1)eˣ – 6eˣ + C
Từ đó suy ra
∫(3x² – x + 1)eˣdx = (3x² – x + 1)eˣ – (6x – 7)eˣ + C = (3x² – 7x + 8)eˣ + C
Vậy chọn đáp án A.
Câu 8: Tìm nguyên hàm của ∫(x² * √(x³+1)) dx
A. (2/9)(x³+1)^(3/2) + C
B. (9/2)(x³+1)^(3/2) + C
C. (2/9)(x³+1)^(2/3) + C
D. (3/2)(x³+1)^(3/2) + C
Giải thích:
Đặt t = x³ + 1 => dt = 3x² dx => x² dx = (1/3)dt
Khi đó: ∫(x² * √(x³+1)) dx = (1/3)∫√t dt
= (1/3) (2/3) t^(3/2) + C = (2/9)(x³+1)^(3/2) + C
Vậy chọn đáp án A.
Câu 9: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a(t) = 3/(t+1) (m/s²). Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng:
A. 10m/s
B. 11m/s
C. 12m/s
D. 13m/s
Giải thích:
Vận tốc của vật bằng:
v(t) = ∫a(t) dt = ∫(3/(t+1)) dt = 3ln(t+1) + C
Với t = 0 ta có v(0) = C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là:
v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)
Khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s).
Vậy chọn đáp án D.
Câu 10: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx
A. I = sin(4x + 2) + C
B. I = – sin(4x + 3) + C
C. I = (1/4)sin(4x + 3) + C
D. I = 4sin(4x + 3) + C
Giải thích:
Đặt u = 4x + 3
=> du = 4dx => dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành:
∫cos(4x + 3)dx = (1/4)∫cos(u)du = (1/4)sin(u) + C = (1/4)sin(4x + 3) + C
Vậy chọn đáp án C.
Câu 11: Tìm I = ∫x.e^(3x)dx
A. I = (1/3)xe^(3x) – (1/9)e^(3x) + C
B. I = (1/3)xe^(3x) + (1/9)e^(3x) + C
C. I = xe^(3x) – (1/3)e^(3x) + C
D. I = 3xe^(3x) – e^(3x) + C
Giải thích:
Sử dụng tích phân từng phần:
Đặt u = x và dv = e^(3x) dx
=> du = dx và v = (1/3)e^(3x)
=> I = ∫x.e^(3x)dx = (1/3)xe^(3x) – (1/3)∫e^(3x)dx
= (1/3)xe^(3x) – (1/9)e^(3x) + C
Vậy chọn đáp án A.
