I. Tổng Quan Về Parabol
Parabol là một đường cong bậc hai rất quan trọng trong toán học và vật lý. Nó được định nghĩa là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol thường được biểu diễn bởi phương trình bậc hai.
Phương trình tổng quát của Parabol
Phương trình tổng quát của parabol có dạng:
y = ax² + bx + ctrong đó:
a,b, vàclà các hệ số, vớia ≠ 0.xvàylà tọa độ của các điểm trên parabol.
II. Công Thức Tính Tọa Độ Đỉnh Parabol
Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị. Tọa độ đỉnh đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và vẽ đồ thị parabol.
Công thức xác định tọa độ đỉnh I(xI; yI)
Tọa độ đỉnh I của parabol y = ax² + bx + c được tính theo công thức sau:
- xI = -b / 2a (Hoành độ đỉnh)
- yI = -Δ / 4a (Tung độ đỉnh), trong đó Δ = b² – 4ac là biệt số.
Hình ảnh minh họa parabol có hệ số a lớn hơn 0, đồ thị có dạng hình chữ U và đỉnh là điểm thấp nhất.
III. Tọa Độ Giao Điểm của Parabol với Các Trục Tọa Độ
Việc xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ giúp ta hình dung rõ hơn về hình dạng và vị trí của parabol trên mặt phẳng tọa độ.
Giao điểm với trục tung (Ox)
Parabol luôn cắt trục tung tại một điểm duy nhất. Để tìm tọa độ giao điểm này, ta thay x = 0 vào phương trình parabol:
y = a(0)² + b(0) + c = cVậy, tọa độ giao điểm với trục tung là (0; c).
Giao điểm với trục hoành (Oy)
Parabol có thể cắt, tiếp xúc, hoặc không cắt trục hoành tùy thuộc vào giá trị của biệt số Δ. Để tìm tọa độ giao điểm, ta giải phương trình bậc hai:
ax² + bx + c = 0- Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x₁vàx₂. Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là (x₁; 0) và (x₂; 0). - Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép
x = -b/2a. Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm có tọa độ là (-b/2a; 0). Điểm này cũng chính là đỉnh của parabol. - Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm. Parabol không cắt trục hoành.
Hình ảnh minh họa công thức tính delta (Δ) bằng b bình phương trừ 4 lần a nhân c, công thức quan trọng để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai.
IV. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, ta xét một vài ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho parabol y = x² - 4x + 3. Hãy tìm:
a) Tọa độ đỉnh của parabol.
b) Tọa độ giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành.
Giải:
a) Tọa độ đỉnh:
a = 1,b = -4,c = 3x<sub>I</sub> = -(-4) / (2*1) = 2Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4y<sub>I</sub> = -4 / (4 * 1) = -1
Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là I(2; -1).
b) Giao điểm với trục tung:
- Thay
x = 0vào phương trình:y = 0² - 4*0 + 3 = 3
Vậy, tọa độ giao điểm với trục tung là (0; 3).
c) Giao điểm với trục hoành:
- Giải phương trình
x² - 4x + 3 = 0 - Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x₁ = 1vàx₂ = 3
Vậy, tọa độ giao điểm với trục hoành là (1; 0) và (3; 0).
Hình ảnh thể hiện công thức tính tọa độ đỉnh I của parabol với hoành độ là -b/2a và tung độ là -delta/4a.
Ví dụ 2: Cho parabol y = -2x² + 8x - 6. Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm với các trục tọa độ.
Giải:
a = -2,b = 8,c = -6x<sub>I</sub> = -8 / (2 * -2) = 2Δ = 8² - 4 * -2 * -6 = 16y<sub>I</sub> = -16 / (4 * -2) = 2
Vậy, tọa độ đỉnh là I(2; 2).
- Giao điểm với trục tung: (0; -6)
- Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình
-2x² + 8x - 6 = 0, ta đượcx₁ = 1vàx₂ = 3. Vậy, giao điểm là (1; 0) và (3; 0).
Hình ảnh minh họa trường hợp parabol tiếp xúc với trục hoành khi phương trình bậc hai có nghiệm kép.
V. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
- Tìm tọa độ đỉnh của parabol
y = 3x² + 6x - 1. - Xác định tọa độ giao điểm của parabol
y = -x² + 2x + 3với các trục tọa độ. - Cho parabol
y = 2x² - 4x + 2. Chứng minh rằng parabol này tiếp xúc với trục hoành và tìm tọa độ tiếp điểm.
Hình ảnh minh họa trường hợp parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
Nắm vững Công Thức Tính đỉnh Parabol và tọa độ giao điểm với các trục tọa độ là một bước quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến parabol. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các kỹ năng này.
