Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, chúng ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp chính sau đây, cùng với các ví dụ và bài tập minh họa chi tiết.
A. Phương Pháp Chứng Minh
Có hai cách tiếp cận chính để chứng minh một tứ giác là hình vuông:
-
Cách 1: Chứng minh từ hình chữ nhật
Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật, sau đó chứng minh thêm một trong các điều kiện sau:
- Hai cạnh kề bằng nhau.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Một đường chéo là đường phân giác của một góc.
-
Cách 2: Chứng minh từ hình thoi
Chứng minh tứ giác đó là hình thoi, sau đó chứng minh thêm một trong các điều kiện sau:
- Có một góc vuông.
- Hai đường chéo bằng nhau.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác AEDF như hình vẽ. Chứng minh rằng AEDF là hình vuông.
Giải:
Tứ giác AEDF có ba góc vuông (như hình vẽ) nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông (theo dấu hiệu nhận biết).
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác MENF là hình vuông.
Giải:
Đặt AD = a, suy ra AB = 2a. Do E, F là trung điểm nên AE = EB = CF = FD = a.
a) Tứ giác ADFE có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a. Suy ra AE = EF = DF = AD = a. Vậy ADFE là hình thoi.
Hình thoi ADFE có một góc vuông nên nó là hình vuông.
b) Tứ giác MENF là hình vuông.
Chứng minh tương tự, tứ giác EBCF cũng là hình vuông. Áp dụng tính chất đường chéo của hình vuông, ta có:
MENF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Hình chữ nhật MENF có EF là phân giác của góc MEN nên nó là hình vuông.
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Giải:
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.
Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x. Khi đó MB = NC = PD = QA = a – x.
Xét các tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM. Chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).
Suy ra MN = NP = PQ = QM. Vậy MNPQ là hình thoi.
Xét hai tam giác MBN và NCP, ta có:
MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu nào?
A. Hình thoi có một góc vuông.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Đáp án: D. (Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông).
Câu 2. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu nào?
A. Hình thoi có một góc vuông.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Đáp án: A. (Hình thoi có một góc vuông là hình vuông).
Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Đáp án: D. (Tứ giác EFGH là hình vuông).
Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Đáp án: D. (Tứ giác EFGH là hình vuông).
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Đáp án: D. (Tứ giác EFGH là hình vuông).
Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Đáp án: D. (Tứ giác AEPF là hình vuông).
Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ DE vuông góc AB tại E, tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA. Khi đó MNPQ là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Đáp án: D. (Tứ giác MNPQ là hình vuông).
