Bài toán tìm diện tích lớn nhất giới hạn bởi parabol (P) y=x^2 và một đường thẳng cắt nó là một ví dụ điển hình trong chương trình giải tích lớp 12, đồng thời xuất hiện nhiều trong các kỳ thi quan trọng. Dưới đây là một cách tiếp cận để giải quyết bài toán này, đặc biệt khi đường thẳng AB có độ dài cho trước.
Cho parabol (P): y = x^2 và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tính diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB.
Để giải bài toán này, ta cần tìm mối liên hệ giữa vị trí của hai điểm A, B trên parabol (P) và diện tích hình phẳng giới hạn. Việc sử dụng tích phân để tính diện tích là một phương pháp hiệu quả.
Giả sử A(a; a^2) và B(b; b^2) là hai điểm thuộc (P). Phương trình đường thẳng AB có thể được viết dưới dạng y = mx + c. Ta cần tìm m và c dựa trên tọa độ của A và B.
Hệ số góc m của đường thẳng AB là: m = (b^2 – a^2) / (b – a) = a + b.
Phương trình đường thẳng AB: y = (a + b)x – ab.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB được tính bằng công thức tích phân:
S = |∫[a, b] (x^2 – (a + b)x + ab) dx|
Sau khi tính tích phân, ta được:
S = |(1/6)(b – a)^3|
Để tối ưu diện tích, ta cần tìm mối quan hệ giữa a, b và điều kiện AB = 2. Khoảng cách AB được tính như sau:
AB = √((b – a)^2 + (b^2 – a^2)^2) = √((b – a)^2(1 + (a + b)^2)) = 2
Từ đó, (b – a)^2(1 + (a + b)^2) = 4. Đặt t = (b – a)^2, ta có: t(1 + (a + b)^2) = 4. Suy ra (b-a)^2 = 4/(1+(a+b)^2)
Thay vào công thức diện tích, ta có S = (1/6) * (4/(1+(a+b)^2))^(3/2)
Để S lớn nhất thì (4/(1+(a+b)^2))^(3/2) phải lớn nhất, tương đương với (1+(a+b)^2) nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi (a+b) = 0, tức a = -b. Khi đó, (b-a)^2 = 4 hay (2b)^2 = 4 => b = 1 hoặc b = -1.
Vậy (b-a)^2 = 4 và S = (1/6) * 4^(3/2) = 8/6 = 4/3.
Vậy diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB là 4/3.
Hình ảnh minh họa parabol (P) y=x^2 và đường thẳng AB, thể hiện mối tương quan hình học giữa chúng trong bài toán tìm diện tích lớn nhất.
Lời giải trên sử dụng các kiến thức về:
- Phương trình parabol và đường thẳng
- Tích phân để tính diện tích hình phẳng
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x^2 và đường thẳng, biểu diễn tích phân và các bước biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức.
