Hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành là một dạng hình học không gian quen thuộc trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này sẽ đi sâu vào các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách trong loại hình chóp này, cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa.
Bài toán 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tam giác SAD là tam giác đều và M là trung điểm của cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và SA; BC và SM.
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành, nên BC // AD.
- Góc giữa BC và SA: (BC, SA) = (AD, SA) = góc SAD. Vì tam giác SAD đều nên góc SAD = 60°. Vậy góc giữa BC và SA bằng 60°.
- Góc giữa BC và SM: (BC, SM) = (AD, SM). Vì M là trung điểm AD, SM là đường trung tuyến của tam giác đều SAD, nên SM cũng là đường cao. Do đó, SM vuông góc AD hay (AD, SM) = 90°. Vậy góc giữa BC và SM bằng 90°.
Phương pháp chung để tính góc giữa hai đường thẳng:
- Tìm đường thẳng song song: Sử dụng tính chất của hình bình hành để tìm các cặp đường thẳng song song, chuyển việc tính góc giữa hai đường thẳng ban đầu về tính góc giữa hai đường thẳng khác dễ xác định hơn.
- Xác định góc: Dựa vào tính chất của các hình (tam giác đều, tam giác vuông,…) để xác định góc cần tìm.
Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là trung điểm SC. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Do I là trung điểm SC, ta có: d(I, (ABCD)) = 1/2 * d(S, (ABCD)).
Để tính d(S, (ABCD)), ta cần xác định đường cao của hình chóp. Giả sử SH là đường cao của hình chóp (H thuộc (ABCD)). Khi đó, d(S, (ABCD)) = SH.
Vậy, d(I, (ABCD)) = 1/2 * SH.
Phương pháp chung để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
- Tìm điểm liên hệ: Tìm một điểm khác có khoảng cách đến mặt phẳng liên hệ với khoảng cách từ điểm ban đầu (ví dụ, trung điểm, trọng tâm,…).
- Xác định đường cao: Xác định đường cao của hình chóp, đây là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Tính toán: Dựa vào các tính chất hình học để tính độ dài đường cao và suy ra khoảng cách cần tìm.
Lưu ý quan trọng khi giải bài toán về hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành:
- Tính chất hình bình hành: Nắm vững các tính chất về cạnh, góc, đường chéo, tâm đối xứng của hình bình hành.
- Các loại tam giác đặc biệt: Nhận biết và sử dụng các tính chất của tam giác đều, tam giác vuông, tam giác cân.
- Quan hệ song song và vuông góc: Vận dụng linh hoạt các kiến thức về quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành là một chủ đề quan trọng trong hình học không gian. Việc nắm vững các phương pháp giải toán và các tính chất liên quan sẽ giúp bạn dễ dàng chinh phục các bài tập và bài kiểm tra. Chúc các bạn học tốt!
