Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số trùng phương y = x⁴ – 2x², việc xác định các mệnh đề đúng về tính chất của hàm số là vô cùng quan trọng. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết giúp bạn hiểu rõ và giải quyết dạng bài tập này.
1. Khảo sát hàm số y = x⁴ – 2x²
Để xác định mệnh đề nào đúng, chúng ta cần khảo sát hàm số y = x⁴ – 2x².
-
Tập xác định: D = ℝ (tập hợp số thực)
-
Đạo hàm:
y’ = 4x³ – 4x
y’ = 4x(x² – 1)
y’ = 4x(x – 1)(x + 1) -
Tìm cực trị:
y’ = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x = -1, x = 0, x = 1Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
-
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | – | 0 | + | 0 | – |
| y | +∞ | -1 | 0 | -1 | +∞ |
| Chiều | Giảm | Cực tiểu | Tăng | Cực đại | Giảm |
Hình ảnh minh họa bảng biến thiên, giúp ta xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của hàm số.
2. Phân tích và lựa chọn mệnh đề đúng
Dựa vào bảng biến thiên và các kết quả khảo sát, ta có thể đưa ra các nhận xét sau:
- Hàm số có 3 điểm cực trị: x = -1, x = 0, x = 1.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1, giá trị cực tiểu là y = -1.
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 0.
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
Ví dụ:
Nếu đề bài cho các mệnh đề sau:
A. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
D. Hàm số không có cực trị.
Đáp án đúng: B. Hàm số có một điểm cực đại (x = 0) và hai điểm cực tiểu (x = -1 và x = 1).
3. Các dạng bài tập thường gặp
- Xác định số điểm cực trị của hàm số.
- Tìm tọa độ các điểm cực trị.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn cho trước.
- Biện luận số nghiệm của phương trình x⁴ – 2x² = m (dựa vào đồ thị hàm số).
4. Lưu ý khi giải bài tập
- Tính toán đạo hàm cẩn thận, tránh sai sót.
- Lập bảng biến thiên đầy đủ và chính xác.
- Đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu trước khi đưa ra kết luận.
- Sử dụng đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả (nếu có thể).
Hình ảnh đồ thị giúp hình dung trực quan về sự biến thiên của hàm số và vị trí các điểm cực trị.
Kết luận:
Việc nắm vững kiến thức về khảo sát hàm số, đặc biệt là hàm số trùng phương, là chìa khóa để giải quyết các bài tập liên quan đến việc xác định mệnh đề đúng. Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với dạng bài tập này.
