Khám phá bí quyết tính chiều cao hình chóp tứ giác đều cạnh a, cùng các công thức và bài tập vận dụng chi tiết, giúp bạn chinh phục mọi bài toán hình học không gian.
1. Hình Chóp Tứ Giác Đều Là Gì?
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm của đáy (giao điểm của hai đường chéo hình vuông).
Hình ảnh minh họa hình chóp tứ giác đều, thể hiện đáy hình vuông và các mặt bên hình tam giác cân.
2. Tính Chất Quan Trọng Của Hình Chóp Tứ Giác Đều
Để tính được chiều cao hình chóp tứ giác đều cạnh a, bạn cần nắm vững các tính chất sau:
- Cạnh bên bằng nhau.
- Đáy là hình vuông.
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy.
- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
- Các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
- Các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
Ví dụ, xét hình chóp tứ giác đều SABCD, ta có:
- Tứ giác ABCD là hình vuông tâm O.
- SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
- SA = SB = SC = SD.
- Góc giữa SA và (ABCD) bằng góc giữa SD và (ABCD), bằng góc giữa SB và (ABCD), bằng góc giữa SC và (ABCD).
Hình ảnh mô tả hình chóp tứ giác đều SABCD, chú thích rõ các đỉnh, đáy, tâm đáy và đường cao.
3. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều
Công thức tính thể tích (V) của hình chóp tứ giác đều là:
V = (1/3) Sđáy h
Trong đó:
- V: Thể tích hình chóp tứ giác đều.
- h: Chiều cao hình chóp tứ giác đều (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
- Sđáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều (diện tích hình vuông).
4. Công Thức Tính Diện Tích Hình Chóp Tứ Giác Đều
4.1. Diện Tích Xung Quanh
Công thức tính diện tích xung quanh (Sxq) của hình chóp tứ giác đều là:
Sxq = 4 * S
Trong đó:
- Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.
- S: Diện tích một mặt bên của hình chóp tứ giác đều (diện tích tam giác cân).
Hình ảnh thể hiện diện tích xung quanh của hình chóp, được tạo bởi 4 mặt tam giác cân.
4.2. Diện Tích Toàn Phần
Công thức tính diện tích toàn phần (Stp) của hình chóp tứ giác đều là:
Stp = Sxq + Sđáy
Trong đó:
- Stp: Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều.
- Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.
- Sđáy: Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều.
5. Bài Tập Vận Dụng Tính Chiều Cao Hình Chóp Tứ Giác Đều Cạnh a
Dưới đây là một số bài tập ví dụ minh họa cách tính chiều cao hình chóp tứ giác đều cạnh a, cùng với lời giải chi tiết:
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải:
Để tính thể tích, ta cần tìm chiều cao SH của hình chóp. Xét tam giác vuông SHA, ta có:
AH = a√2 / 2 (nửa đường chéo hình vuông ABCD)
SH = √(SA² – AH²) = √(a² – (a√2 / 2)²) = a√2 / 2
Diện tích đáy ABCD là: SABCD = a²
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = (1/3) SABCD SH = (1/3) a² (a√2 / 2) = a³√2 / 6
Hình ảnh mô tả bài toán tính thể tích hình chóp, chú thích các yếu tố đã cho và cần tìm.
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
Giải:
Diện tích đáy ABCD là a².
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có: OB = a√2 / 2
Xét tam giác vuông SOB, ta có:
SO² = SB² – OB² = a² – (a√2 / 2)² = a² / 2
SO = a√2 / 2 (Đây chính là chiều cao h của hình chóp)
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = (1/3) Sđáy SO = (1/3) a² (a√2 / 2) = a³√2 / 6
Hình ảnh thể hiện hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a, giúp hình dung bài toán.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích khối chóp.
Giải:
Gọi O là tâm của hình vuông và I là trung điểm của CD.
SI vuông góc với CD. Gọi chiều cao của hình chóp SO là h.
SI = √(SO² + OI²) = √(h² + x²/4)
Ta có: Sxq = 2SI.CD; Sxq = 2B (với B là diện tích đáy)
=> 2x√(h² + x²/4) = 2x² => √(h² + x²/4) = x
=> h² + x²/4 = x² => h² = 3x²/4 => h = x√3 / 2
Vậy thể tích của hình chóp là: V = (1/3) x² (x√3 / 2) = x³√3 / 6
Hình ảnh hỗ trợ việc hình dung bài toán liên quan đến tỷ lệ diện tích xung quanh và đáy.
Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD.
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD => SO vuông góc (ABCD)
=> Góc SCO = 60 độ => tan(60) = SO/OC => SO = OC√3 = (a/√2) * √3
=> V = (1/3) a√(3/2) a² = (a³√6) / 6
Hình ảnh minh họa góc giữa cạnh bên và mặt đáy trong hình chóp tứ giác đều.
Bài 5: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp tứ giác đã cho.
Giải:
AC = a√2 => AO = (a√2) / 2 => SO = √(SA² – OA²) = √( (2a)² – ((a√2)/2)² ) = (a√14) / 2
Vậy VS.ABCD = (1/3) SO SABCD = (1/3) ((a√14) / 2) a³ = (a³√14) / 6
Hình ảnh minh họa mối quan hệ về kích thước giữa cạnh đáy và cạnh bên.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a√3. Tính thể tích của hình chóp đó theo a.
Giải:
Gọi h là chiều cao của hình chóp đã cho, ta có:
h = √( (a√3)² – (a²/2) ) = (a√10) / 2
V = (1/3) SABCD h = (1/3) a² ((a√10) / 2) = (a³√10) / 6
Hình ảnh minh họa hình chóp với cạnh bên bằng a căn 3, làm rõ các yếu tố hình học.
Bài 7: Chó hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a. Tính thể tích khối chóp đó.
Giải:
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Ta có: OD = (a√2) / 2, SO = √(SD² – OD²) = √(a² – (a²/2)) = (a√2) / 2
VS.ABCD = (1/3) SO SABCD = (1/3) ((a√2) / 2) a² = (a³√2) / 6
Hình ảnh minh họa trường hợp đặc biệt khi cạnh đáy và cạnh bên của hình chóp bằng nhau.
