Bài toán xác suất là một phần quan trọng của toán học, thống kê và khoa học dữ liệu. Nó giúp chúng ta hiểu và dự đoán khả năng xảy ra của các sự kiện ngẫu nhiên. Bài viết này sẽ đi sâu vào một số ví dụ điển hình về bài toán xác suất, từ đó giúp bạn nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải quyết bài tập.
Ví dụ 1: Bài toán về hộp bi
Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.
Cách giải:
- Trường hợp 1: Lần 1 lấy bi đỏ, lần 2 lấy bi xanh: Có 6 cách chọn bi đỏ ở lần 1 và 4 cách chọn bi xanh ở lần 2, vậy có 6 * 4 = 24 cách.
- Trường hợp 2: Lần 1 lấy bi xanh, lần 2 lấy bi xanh: Có 4 cách chọn bi xanh ở lần 1 và 3 cách chọn bi xanh ở lần 2, vậy có 4 * 3 = 12 cách.
Tổng số cách để viên bi thứ 2 là bi xanh là 24 + 12 = 36 cách. Tổng số cách lấy 2 viên bi từ hộp là 10 * 9 = 90 cách.
Vậy xác suất cần tìm là P = 36/90 = 2/5.
Ví dụ 2: Bài toán về chọn bi nhiều màu
Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.
Cách giải:
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Số phần tử của không gian mẫu (tất cả các cách chọn 4 viên bi) là C(24, 4) = 10626.
Để có đủ 3 màu, ta xét các trường hợp sau:
- 2 bi đỏ, 1 bi vàng, 1 bi xanh: C(10, 2) C(8, 1) C(6, 1) = 45 8 6 = 2160
- 1 bi đỏ, 2 bi vàng, 1 bi xanh: C(10, 1) C(8, 2) C(6, 1) = 10 28 6 = 1680
- 1 bi đỏ, 1 bi vàng, 2 bi xanh: C(10, 1) C(8, 1) C(6, 2) = 10 8 15 = 1200
Tổng số cách chọn thỏa mãn là 2160 + 1680 + 1200 = 5040.
Vậy xác suất cần tìm là P = 5040/10626 ≈ 0.474, hay 47.4%.
Ví dụ 3: Bài toán về số chia hết cho 5
Từ các chữ số của tập T = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chia hết cho 5.
Cách giải:
- Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ T: 5 * A(5, 2) = 100
- Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5: A(2,2) + 4* A(1,1) = 36
- Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 5: 100 – 36 = 64
- Số phần tử của không gian mẫu: C(100, 2) = 4950
- Số cách chọn 2 số sao cho cả 2 số đều không chia hết cho 5: C(64, 2) = 2016
- Số cách chọn 2 số sao cho có ít nhất một số chia hết cho 5: 4950 – 2016 = 2934
Vậy xác suất cần tìm là P = 2934/4950 = 489/825 = 163/275
Cách giải khác:
- Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ T: 5 * A(5, 2) = 100
- Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5: A(2,2) + 4* A(1,1) = 36
- Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 5: 100 – 36 = 64
- Số phần tử của không gian mẫu: C(100, 1) * C(99, 1) = 9900
- Số cách chọn 2 số sao cho số thứ nhất chia hết cho 5 và số thứ hai không chia hết cho 5: 36 * 64 = 2304
- Số cách chọn 2 số sao cho số thứ nhất không chia hết cho 5 và số thứ hai chia hết cho 5: 64 * 35 = 2240
- Số cách chọn 2 số sao cho cả hai số đều chia hết cho 5: 36 * 35 = 1260
- Tổng số cách chọn có ít nhất một số chia hết cho 5: 2304+2240+1260 = 5804
Vậy xác suất cần tìm là P = 5804/9900 = 1451/2475
Ví dụ 4: Bài toán về tấm thẻ
Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.
Cách giải:
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C(20, 5) = 15504.
Trong 20 tấm thẻ:
- 10 tấm mang số lẻ.
- 5 tấm mang số chẵn và chia hết cho 4.
- 5 tấm mang số chẵn và không chia hết cho 4.
Số cách chọn 3 tấm lẻ, 1 tấm chẵn chia hết cho 4 và 1 tấm chẵn không chia hết cho 4: C(10, 3) C(5, 1) C(5, 1) = 120 5 5 = 3000.
Vậy xác suất cần tìm là P = 3000/15504 = 125/646.
Ví dụ 5: Bài toán về số 9 chữ số
Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).
Cách giải:
- Tổng số các số có 9 chữ số khác nhau: 9 * A(9, 8) = 3265920.
- Số cách chọn 4 chữ số lẻ: C(5, 4) = 5.
- Số cách xếp vị trí cho chữ số 0: 7.
- Số cách chọn và xếp 2 chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0: A(4, 2) = 12
- Số cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại: 6! = 720
Số các số thỏa mãn đề bài: 5 7 12 * 720 = 302400.
Vậy xác suất cần tìm là P = 302400 / 3265920 = 5/54.
Ví dụ 6: Bài toán về chọn học sinh trực nhật
Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Cách giải:
- Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 11 học sinh: C(11, 3) = 165.
- Số cách chọn 3 học sinh đều là nam: C(5, 3) = 10.
- Số cách chọn 3 học sinh đều là nữ: C(6, 3) = 20.
- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ: 165 – 10 – 20 = 135.
Vậy xác suất cần tìm là P = 135/165 = 9/11.
Ví dụ 7: Bài toán về bắn mục tiêu
Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0.8 và 0.9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.
Cách giải:
- Người thứ nhất bắn trúng, người thứ hai bắn trượt: 0.8 * (1 – 0.9) = 0.08.
- Người thứ nhất bắn trượt, người thứ hai bắn trúng: (1 – 0.8) * 0.9 = 0.18.
Vậy xác suất để chỉ có một người bắn trúng là 0.08 + 0.18 = 0.26.
Ví dụ 8: Bài toán về đội ngũ cán bộ khoa học
Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Cách giải:
- Tổng số cách chọn 4 người từ 16 người: C(16, 4) = 1820.
Các trường hợp thỏa mãn:
- 2 toán nam, 1 lý nữ, 1 hóa nữ: C(8, 2) C(5, 1) C(3, 1) = 28 5 3 = 420
- 1 toán nam, 2 lý nữ, 1 hóa nữ: C(8, 1) C(5, 2) C(3, 1) = 8 10 3 = 240
- 1 toán nam, 1 lý nữ, 2 hóa nữ: C(8, 1) C(5, 1) C(3, 2) = 8 5 3 = 120
Số cách chọn thỏa mãn: 420 + 240 + 120 = 780.
Vậy xác suất cần tìm là P = 780/1820 = 39/91.
Các bài toán xác suất rất đa dạng và phong phú. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.
