1. Khái niệm dãy tỉ số bằng nhau
Dãy tỉ số bằng nhau là một chuỗi các tỉ số mà giá trị của chúng bằng nhau. Ví dụ, nếu ta có các số a, b, c, x, y, z khác 0 và a/x = b/y = c/z, thì ta nói rằng a, b, c tỉ lệ với x, y, z. Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa các cặp số tương ứng là không đổi.
2. Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau
Một trong những tính chất quan trọng nhất của dãy tỉ số bằng nhau là: từ tỉ lệ thức a/b = c/d (với b, d ≠ 0), ta có thể suy ra ad = bc. Tính chất này được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và dãy tỉ số bằng nhau.
Tính chất mở rộng của dãy tỉ số bằng nhau:
Nếu a/b = c/d = e/f thì:
- (a + c + e) / (b + d + f) = a/b = c/d = e/f (giả sử b + d + f ≠ 0)
- (a – c + e) / (b – d + f) = a/b = c/d = e/f (giả sử b – d + f ≠ 0)
Những tính chất này cho phép chúng ta cộng hoặc trừ các tử số và mẫu số tương ứng trong dãy tỉ số bằng nhau mà vẫn giữ nguyên giá trị của tỉ số.
3. Các dạng bài tập thường gặp về dãy tỉ số bằng nhau
-
Tìm x, y, z khi biết dãy tỉ số và một điều kiện liên hệ: Dạng bài này thường cho một dãy tỉ số bằng nhau như x/a = y/b = z/c và một biểu thức liên hệ giữa x, y, z (ví dụ: x + y – z = k). Để giải, ta áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để đưa về một tỉ số duy nhất và từ đó tìm ra giá trị của x, y, z.
-
Chia tỉ lệ: Bài toán chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước. Ví dụ, chia một đoạn dây dài 120cm thành ba đoạn tỉ lệ với 3, 4, 5. Cách giải là gọi độ dài các đoạn dây là x, y, z và thiết lập dãy tỉ số x/3 = y/4 = z/5. Sau đó, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và điều kiện x + y + z = 120 để tìm ra x, y, z.
-
Ứng dụng thực tế: Các bài toán liên quan đến tỉ lệ trong thực tế, ví dụ như tính toán trong công thức nấu ăn, pha chế, hoặc trong các bài toán về bản đồ và tỉ lệ xích.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm x, y, z biết x/2 = y/3 = z/4 và x + y + z = 27
Giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/2 = y/3 = z/4 = (x + y + z) / (2 + 3 + 4) = 27/9 = 3
Suy ra:
- x = 2 * 3 = 6
- y = 3 * 3 = 9
- z = 4 * 3 = 12
Ví dụ 2: Một lớp học có 45 học sinh, trong đó số học sinh nam tỉ lệ với 4, số học sinh nữ tỉ lệ với 5. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp.
Giải:
Gọi số học sinh nam là x, số học sinh nữ là y. Ta có:
x/4 = y/5 và x + y = 45
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/4 = y/5 = (x + y) / (4 + 5) = 45/9 = 5
Suy ra:
- x = 4 * 5 = 20
- y = 5 * 5 = 25
Vậy lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ.
5. Bài tập vận dụng
- Tìm x, y biết x/5 = y/7 và x – y = -10.
- Ba đội công nhân có số người tỉ lệ với 3, 4, 5. Biết tổng số người của ba đội là 36. Tính số người của mỗi đội.
- Chia 240 quyển sách thành ba phần tỉ lệ với 2, 3, 5. Tính số sách của mỗi phần.
6. Lưu ý khi giải bài tập về dãy tỉ số bằng nhau
- Luôn kiểm tra các điều kiện (ví dụ: mẫu số khác 0) trước khi áp dụng các tính chất.
- Đọc kỹ đề bài để xác định đúng mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách linh hoạt để giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất.
Nắm vững khái niệm, tính chất và các dạng bài tập về dãy tỉ số bằng nhau sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Chúc các em học tốt!
