Trong hình học vectơ, việc xác định ba điểm có thẳng hàng hay không là một bài toán cơ bản. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về điều kiện để ba điểm thẳng hàng, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
1. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng dựa vào vectơ
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một số thực k khác 0 sao cho:
$overrightarrow{AB} = koverrightarrow{AC}$
Điều này có nghĩa là vectơ AB và vectơ AC cùng phương.
Lưu ý:
- Điều kiện trên cũng có thể được phát biểu dưới dạng tồn tại một số thực k’ sao cho $overrightarrow{BA} = k’overrightarrow{BC}$ hoặc $overrightarrow{CA} = k”overrightarrow{CB}$.
- Khi k > 0, điểm B nằm giữa A và C.
- Khi k < 0, điểm A nằm giữa B và C hoặc điểm C nằm giữa A và B.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm AD, điểm N thuộc AC sao cho $overrightarrow{AC} = 3overrightarrow{AN}$. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.
Alt text: Hình vẽ minh họa tam giác ABC với trung tuyến AD, M là trung điểm AD, N thuộc AC và đường thẳng BMN cần chứng minh thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
- $overrightarrow{BN} = overrightarrow{BA} + overrightarrow{AN} = -overrightarrow{AB} + frac{1}{3}overrightarrow{AC}$
- $overrightarrow{BM} = frac{1}{2}overrightarrow{BA} + overrightarrow{BD}$ (vì M là trung điểm của AD)
= $-frac{1}{2}overrightarrow{AB} + frac{1}{2}.frac{1}{2}overrightarrow{BC}$ (vì D là trung điểm của BC)
= $-frac{1}{2}overrightarrow{AB} + frac{1}{4}.(overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB})$
= $-frac{3}{4}overrightarrow{AB} + frac{1}{4}overrightarrow{AC}$
= $frac{3}{4}(-overrightarrow{AB} + frac{1}{3}overrightarrow{AC})$
Suy ra $overrightarrow{BM} = frac{3}{4}overrightarrow{BN}$.
Vậy B, M, N thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB, điểm F thuộc AC sao cho AF = 2FC. Gọi M là trung điểm BC, I thuộc EF sao cho 4EI = 3FI. Chứng minh A, M, I thẳng hàng.
Alt text: Hình ảnh mô tả tam giác ABC, E là trung điểm AB, F thuộc AC sao cho AF = 2FC, M là trung điểm BC và I thuộc EF thỏa mãn 4EI = 3FI, minh họa trực quan cho bài toán chứng minh A, M, I thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
- $overrightarrow{AI} = overrightarrow{AE} + overrightarrow{EI}$
Mà E là trung điểm của AB suy ra $overrightarrow{AE} = frac{1}{2}overrightarrow{AB}$.
và 4EI = 3FI suy ra $overrightarrow{EI} = frac{3}{7}overrightarrow{EF}$.
Nên $overrightarrow{AI} = frac{1}{2}overrightarrow{AB} + frac{3}{7}overrightarrow{EF}$
= $frac{1}{2}overrightarrow{AB} + frac{3}{7}(overrightarrow{AF} – overrightarrow{AE})$
Mà AF = 2FC hay $overrightarrow{AF} = frac{2}{3}overrightarrow{AC}$.
Suy ra $overrightarrow{AI} = frac{1}{2}overrightarrow{AB} + frac{3}{7}(frac{2}{3}overrightarrow{AC} – frac{1}{2}overrightarrow{AB}) = frac{2}{7}overrightarrow{AB} + frac{2}{7}overrightarrow{AC} = frac{2}{7}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC})$.
Mặt khác, $overrightarrow{AM} = frac{1}{2}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC})$ (vì M là trung điểm của BC).
Suy ra $overrightarrow{AI} = frac{4}{7}overrightarrow{AM}$.
Hay A, M, I thẳng hàng.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy H, trên BD lấy K sao cho $overrightarrow{BH} = frac{1}{5}overrightarrow{BC}$, $overrightarrow{BK} = frac{1}{6}overrightarrow{BD}$. Chứng minh rằng A, K, H thẳng hàng.
Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho $overrightarrow{OA} + 2overrightarrow{OB} – 3overrightarrow{OC} = overrightarrow{0}$. Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
Bài 3. Tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, vẽ $overrightarrow{OM} = frac{1}{2}overrightarrow{DA}$. Chứng minh D, M, G thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Lấy hai điểm I, J sao cho $overrightarrow{IA} + 3overrightarrow{IC} = overrightarrow{0}$, $overrightarrow{JA} + 2overrightarrow{JB} + 3overrightarrow{JC} = overrightarrow{0}$. Chứng minh I, J, B thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy hai điểm M, N sao cho $3overrightarrow{MA} + 4overrightarrow{MB} = overrightarrow{0}$, $overrightarrow{NB} – 3overrightarrow{NC} = overrightarrow{0}$. Chứng minh G, M, N thẳng hàng (với G là trọng tâm tam giác).
Kết luận:
Việc nắm vững điều kiện để ba điểm thẳng hàng là rất quan trọng trong giải toán hình học vectơ. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về kiến thức này và có thể áp dụng vào giải các bài tập một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
