Trong chương trình hình học không gian lớp 12, việc xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng là một chủ đề quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức này.
A. Phương Pháp Xác Định Vị Trí Tương Đối Hai Đường Thẳng
Cho hai đường thẳng d đi qua điểm $M_0$ có vector chỉ phương $overrightarrow{u}$ và d’ đi qua điểm $M’_0$ có vector chỉ phương $overrightarrow{u’}$. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng này, ta thực hiện các bước sau:
-
Kiểm tra sự cùng phương của hai vector chỉ phương:
- Nếu $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ không cùng phương, hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.
- Nếu $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ cùng phương, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
-
Xét tích có hướng: Tính $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}]$.
-
Xét tích hỗn tạp: Tính $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0}$.
- Nếu $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0} = 0$, hai đường thẳng đồng phẳng (cùng nằm trong một mặt phẳng). Khi đó:
- Nếu $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ cùng phương thì d và d’ trùng nhau hoặc song song.
- Nếu $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ không cùng phương thì d và d’ cắt nhau.
- Nếu $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0} ne 0$, hai đường thẳng chéo nhau.
- Nếu $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0} = 0$, hai đường thẳng đồng phẳng (cùng nằm trong một mặt phẳng). Khi đó:
Hình ảnh minh họa điều kiện để hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng trong không gian Oxyz.
Tóm tắt các trường hợp:
- d và d’ trùng nhau: $overrightarrow{u} = koverrightarrow{u’}$ và $overrightarrow{M_0M’_0}$ cùng phương với $overrightarrow{u}$.
Hình ảnh biểu diễn hai đường thẳng d và d’ trùng nhau, có vector chỉ phương cùng phương và đi qua các điểm tương ứng.
- d và d’ song song: $overrightarrow{u} = koverrightarrow{u’}$ và $overrightarrow{M_0M’_0}$ không cùng phương với $overrightarrow{u}$.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng d và d’ song song, với vector chỉ phương cùng phương nhưng không đi qua cùng một điểm.
- d và d’ cắt nhau: $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ không cùng phương và $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0} = 0$.
Hình ảnh thể hiện hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại một điểm trong không gian ba chiều.
- d và d’ chéo nhau: $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0} ne 0$.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng d và d’ không đồng phẳng và không cắt nhau, thể hiện vị trí chéo nhau.
- d và d’ vuông góc: $overrightarrow{u}.overrightarrow{u’} = 0$
Hình ảnh biểu diễn hai đường thẳng vuông góc với nhau, vector chỉ phương của chúng tạo thành một góc 90 độ.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
$d: begin{cases} x = -1 + t y = 1 + 2t z = -2 + 3t end{cases}$ và $d’: begin{cases} x = 1 + 2t’ y = 5 + 4t’ z = 4 + 6t’ end{cases}$
Giải:
Đường thẳng d có $overrightarrow{u} = (1; 2; 3)$ và đi qua $M_0(-1; 1; -2)$.
Đường thẳng d’ có $overrightarrow{u’} = (2; 4; 6)$ và đi qua $M’_0(1; 5; 4)$.
Nhận thấy $overrightarrow{u’} = 2overrightarrow{u}$ nên $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ cùng phương.
$overrightarrow{M_0M’_0} = (2; 4; 6) = 2overrightarrow{u}$ nên $overrightarrow{M_0M’_0}$ và $overrightarrow{u}$ cùng phương.
Vậy d và d’ trùng nhau.
Hình ảnh mô tả hai đường thẳng d và d’ trùng nhau, minh họa cho ví dụ 1.
Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
$d: begin{cases} x = t y = 1 + 2t z = 2 + 3t end{cases}$ và $d’: begin{cases} x = 2t’ y = 5 + 4t’ z = 8 + 6t’ end{cases}$
Giải:
Đường thẳng d có $overrightarrow{u} = (1; 2; 3)$ và đi qua $M_0(0; 1; 2)$.
Đường thẳng d’ có $overrightarrow{u’} = (2; 4; 6)$ và đi qua $M’_0(0; 5; 8)$.
Nhận thấy $overrightarrow{u’} = 2overrightarrow{u}$ nên $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ cùng phương.
$overrightarrow{M_0M’_0} = (0; 4; 6)$. Vì $overrightarrow{M_0M’_0}$ không cùng phương với $overrightarrow{u}$ nên d và d’ song song.
Hình ảnh mô tả hai đường thẳng d và d’ song song, minh họa cho ví dụ 2.
Ví dụ 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
$d: begin{cases} x = t y = 3t z = -1 + t end{cases}$ và $d’: begin{cases} x = t’ y = 9 z = t’ end{cases}$
Giải:
Đường thẳng d có $overrightarrow{u} = (1; 3; 1)$ và đi qua $M_0(0; 0; -1)$.
Đường thẳng d’ có $overrightarrow{u’} = (1; 0; 1)$ và đi qua $M’_0(0; 9; 0)$.
$overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{u’}$ không cùng phương.
$overrightarrow{M_0M’_0} = (0; 9; 1)$.
Tính $[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] = (3; 0; -3)$.
$[overrightarrow{u}, overrightarrow{u’}] . overrightarrow{M_0M’_0} = (3; 0; -3) . (0; 9; 1) = -3 ne 0$.
Vậy d và d’ chéo nhau.
Hình ảnh mô tả hai đường thẳng d và d’ chéo nhau, minh họa cho ví dụ 3.
Ví dụ 4: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:
$d: begin{cases} x = 1 + t y = 2 + at z = 2 – t end{cases}$ và $d’: begin{cases} x = 1 + 2t’ y = 2 + 4t’ z = 2 – 2t’ end{cases}$
Giải:
$overrightarrow{u} = (1; a; -1)$ và $overrightarrow{u’} = (2; 4; -2)$.
Để d // d’ thì $overrightarrow{u’} = 2overrightarrow{u} Leftrightarrow (2; 4; -2) = (2; 2a; -2) Leftrightarrow a = 2$.
Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.
Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2.
Hình ảnh minh họa điều kiện để hai đường thẳng song song, được sử dụng trong ví dụ 4.
C. Bài Tập Vận Dụng
- Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: frac{x}{1} = frac{y+1}{2} = frac{z}{1}$ và $d_2: begin{cases} x = t y = 1-2t z = 1+3t end{cases}$.
- Cho hai đường thẳng $d_1: begin{cases} x = 2 + t y = 0 + mt z = -1 + t end{cases}$ và $d_2: begin{cases} x = 1 + 2t’ y = 1 + 3t’ z = 0 + 2t’ end{cases}$. Tìm m để hai đường thẳng chéo nhau.
Kết luận
Nắm vững lý thuyết và phương pháp xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng là rất quan trọng trong chương trình hình học lớp 12. Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn thành thạo kỹ năng này và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
