A. Cơ Sở Lý Thuyết về Tính Tuần Hoàn của Hàm Số
Một hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x thuộc tập xác định D của hàm số, ta có x + T và x – T cũng thuộc D, đồng thời f(x + T) = f(x). Số T này được gọi là chu kỳ của hàm số.
Nếu tồn tại một số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên, thì T được gọi là chu kỳ cơ sở (hay chu kỳ nhỏ nhất) của hàm số.
Để Xét Tính Tuần Hoàn Của Hàm Số lượng giác, ta thường dựa vào các tính chất sau:
- Hàm số y = sin(x) và y = cos(x) là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
- Hàm số y = tan(x) và y = cot(x) là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.
B. Cách Tìm Chu Kỳ Tuần Hoàn của Hàm Số Lượng Giác
Để tìm chu kỳ của hàm số lượng giác, ta có thể áp dụng các công thức sau:
- Hàm số y = k.sin(ax + b) và y = k.cos(ax + b) có chu kỳ là T = 2π/|a|.
- Hàm số y = k.tan(ax + b) và y = k.cot(ax + b) có chu kỳ là T = π/|a|.
Khi hàm số là tổng hoặc hiệu của các hàm số lượng giác, ta tìm chu kỳ của từng hàm số thành phần, sau đó tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các chu kỳ đó. BCNN này sẽ là chu kỳ của hàm số tổng hoặc hiệu.
C. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn?
A. y = x + 1
B. y = x²
C. y = (x – 1) / (x + 2)
D. y = sin(x)
Lời giải:
Đáp án đúng là D. Vì y = sin(x) là hàm số lượng giác cơ bản và có tính tuần hoàn.
Ví dụ 2: Tìm chu kỳ của hàm số y = cos(x).
A. π
B. 2π/3
C. 2kπ
D. 2π
Lời giải:
Đáp án đúng là D. Hàm số y = cos(x) có chu kỳ là 2π.
Ví dụ 3: Xác định chu kỳ của hàm số y = tan(x).
A. π/4
B. 2π
C. kπ (k ∈ Z)
D. π
Lời giải:
Đáp án đúng là D. Hàm số y = tan(x) có chu kỳ là π.
Ví dụ 4: Hàm số y = 2tan(2x – 100) có chu kỳ là bao nhiêu?
A. T = π/4
B. T = π/2
C. T = 2π
D. T = π
Lời giải:
Đáp án đúng là B. Áp dụng công thức T = π/|a|, ta có T = π/|2| = π/2.
Ví dụ 5: Tìm chu kỳ của hàm số y = -π.sin(4x – 2998).
A. T = π/2
B. T = π/4
C. T = 2π
D. T = π
Lời giải:
Đáp án đúng là A. Áp dụng công thức T = 2π/|a|, ta có T = 2π/|4| = π/2.
Ví dụ 6: Tính chu kỳ của hàm số y = 10π.cos(π/2 – 20x).
A. 20π
B. 10π
C. π/20
D. π/10
Lời giải:
Đáp án đúng là D. Áp dụng công thức T = 2π/|a|, ta có T = 2π/|-20| = π/10.
Ví dụ 7: Xác định chu kỳ của hàm số y = (1/2π).cot(π/10 + 10x).
A. π
B. 10π
C. π/20
D. π/10
Lời giải:
Đáp án đúng là D. Áp dụng công thức T = π/|a|, ta có T = π/|10| = π/10.
Ví dụ 8: Tìm chu kỳ của hàm số y = 2sin²x + 1.
A. 1
B. 2π
C. π
D. 4π
Lời giải:
Đáp án đúng là C. Ta có: y = 2sin²x + 1 = 1 – cos2x + 1 = 2 – cos2x. Do đó, chu kỳ của hàm số là T = 2π/2 = π.
Đồ thị hàm số sin(x) minh họa rõ ràng tính chất lặp lại sau mỗi khoảng 2π, thể hiện chu kỳ tuần hoàn của nó.
Ví dụ 9: Xác định chu kỳ của hàm số y = sin(2x – π) + (1/2)tan(x + π).
A. π
B. 2π
C. π/2
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án đúng là A. Hàm số sin(2x – π) có chu kỳ T₁ = 2π/2 = π. Hàm số (1/2)tan(x + π) có chu kỳ T₂ = π/1 = π. Vậy, chu kỳ của hàm số đã cho là T = π.
Ví dụ 10: Tìm chu kỳ của hàm số y = (1/2)tan(x – π/2) + (1/10)cot(x/2 – π).
A. π
B. 2π
C. π/2
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án đúng là B. Hàm số (1/2)tan(x – π/2) có chu kỳ T₁ = π/1 = π. Hàm số (1/10)cot(x/2 – π) có chu kỳ T₂ = π/(1/2) = 2π. Suy ra, chu kỳ của hàm số đã cho là T = 2π.
Ví dụ 11: Chu kỳ của hàm số y = sin²x + cos(2x + π/3) là bao nhiêu?
A. π/2
B. 2π
C. 4π
D. π
Lời giải:
Đáp án đúng là D. Ta có: y = sin²x + cos(2x + π/3) = (1 – cos2x)/2 + cos(2x + π/3). Hàm số (1 – cos2x)/2 có chu kỳ T₁ = 2π/2 = π. Hàm số cos(2x + π/3) có chu kỳ T₂ = 2π/2 = π. Vậy, chu kỳ của hàm số đã cho là T = π.
Ví dụ 12: Xác định chu kỳ của hàm số y = 2sin2x.sin4x.
A. π/2
B. 2π
C. π
D. 4π
Lời giải:
Đáp án đúng là C. Ta có: y = 2sin2x.sin4x = cos6x – cos2x. Hàm số cos6x có chu kỳ T₁ = 2π/6 = π/3. Hàm số cos2x có chu kỳ T₂ = 2π/2 = π. Vậy, chu kỳ của hàm số đã cho là T = π.
Ví dụ 13: Tìm chu kỳ của hàm số y = sin3x + cos2x.
A. 2π
B. π
C. 4π
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án đúng là A. Hàm số sin3x có chu kỳ T₁ = 2π/3. Hàm số cos2x có chu kỳ T₂ = 2π/2 = π. Vậy, chu kỳ của hàm số đã cho là T = 2π (BCNN của 2π/3 và π).
D. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = x.cosx
B. y = x.tanx
C. y = tanx
D. y = 1/x
Lời giải:
Đáp án đúng là C.
Câu 2: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn?
A. y = sinx/x
B. y = tanx + x
C. y = x² + 1
D. y = cotx
Lời giải:
Đáp án đúng là D.
Câu 3: Chu kỳ của hàm số y = sinx là:
A. k2π, k ∈ Z
B. π/2
C. π
D. 2π
Lời giải:
Đáp án đúng là D.
Câu 4: Xác định chu kỳ của hàm số y = cotx.
A. 2π
B. π/2
C. π
D. kπ, k ∈ Z
Lời giải:
Đáp án đúng là C.
Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn?
A. y = sinx
B. y = x + sinx
C. y = x.cosx
D. y = sinx/x
Lời giải:
Đáp án đúng là A.
Câu 6: Tìm chu kỳ T của hàm số y = sin(π/10 – 5x).
A. T = 2π/5
B. T = 5π/2
C. T = π/2
D. T = π/8
Lời giải:
Đáp án đúng là A.
Câu 7: Chu kỳ T của hàm số y = cos(x/2 + 2198π) là bao nhiêu?
A. T = 4π
B. T = 2π
C. T = π/2
D. T = π
Lời giải:
Đáp án đúng là A.
Câu 8: Tìm chu kỳ T của hàm số y = (1/3)cos(50πx – 50π).
A. T = 1/25
B. T = 50
C. T = 25
D. T = 1/50
Lời giải:
Đáp án đúng là A.
Câu 9: Xác định chu kỳ T của hàm số y = 3tan(3πx + 3π).
A. T = π/3
B. T = 4/3
C. T = 2π/3
D. T = 1/3
Lời giải:
Đáp án đúng là D.
Câu 10: Tìm chu kỳ T của hàm số y = tan x + cot 3x.
A. T = 4π
B. T = π
C. T = 3π
D. T = π/3
Lời giải:
Đáp án đúng là B.
Câu 11: Chu kỳ T của hàm số y = cos(2x/3 + π) + 2cot x là bao nhiêu?
A. T = 4π
B. T = π
C. T = 3π
D. T = π/3
Lời giải:
Đáp án đúng là C.
Câu 12: Tìm chu kỳ T của hàm số y = sin(x/2) – tan(2x + π/4).
A. T = 4π
B. T = π
C. T = 3π
D. T = π/3
Lời giải:
Đáp án đúng là A.
Câu 13: Chu kỳ T của hàm số y = 2cos2x + 4π là:
A. T = 4π
B. T = 2π
C. T = π
D. T = 2
Lời giải:
Đáp án đúng là C.
Câu 14: Hàm số nào sau đây có chu kỳ khác π?
A. y = sin(-2x + π/3)
B. y = cos²(x + π/4)
C. y = tan(-2x + 100)
D. y = cosx.sinx
Lời giải:
Đáp án đúng là C.
Câu 15: Hàm số nào sau đây có chu kỳ khác 2π?
A. y = cos3x
B. y = sin(x/2)cos(x/2)
C. y = sin²(x + 2)
D. y = cos²(x/2 + 1)
Lời giải:
Đáp án đúng là C.
Câu 16: Hai hàm số nào sau đây có chu kỳ khác nhau?
A. y = 2cosx và y = cot(x/2)
B. y = -3sinx và y = tan2x
C. y = sin(x/2) và y = cos(x/2)
D. y = 2tan(2x – 10) và y = cot(10 – 2x)
Lời giải:
Đáp án đúng là B.
E. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tìm chu kỳ tuần hoàn của hàm số f(x) = sin2x + 5π/6.
Bài 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở của hàm số y = sin²x.
Bài 3. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở của hàm số sau: y = sinx + sin3x.
Bài 4. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sinx – x
B. y = cosx
C. y = x.sin x
D. y = (x² + 1)/x
Bài 5. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x
B. y = x + 1
C. y = x²
D. y = (x – 1)/(x + 2)
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn có thể nắm vững cách xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác và áp dụng chúng vào giải các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
