Bài viết này cung cấp phương pháp tiếp cận chi tiết để Xét Tính Chẵn Lẻ của hàm số, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Phương Pháp Xác Định Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số
Để xét tính chẵn lẻ của một hàm số, chúng ta sử dụng định nghĩa sau:
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
- Hàm số chẵn: Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, -x cũng thuộc D và f(-x) = f(x). Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy.
Alt text: Định nghĩa hàm số chẵn: f(-x) = f(x), thể hiện tính đối xứng qua trục tung, công thức toán học quan trọng trong giải tích.
- Hàm số lẻ: Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, -x cũng thuộc D và f(-x) = -f(x). Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O.
Alt text: Định nghĩa hàm số lẻ: f(-x) = -f(x), biểu diễn tính đối xứng tâm qua gốc tọa độ, kiến thức cơ bản trong đại số.
Lưu ý quan trọng:
- Một hàm số có thể không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
- Nếu hàm số vừa chẵn vừa lẻ thì hàm số đó là hàm hằng bằng 0 (f(x) = 0 với mọi x thuộc D).
2. Quy Trình Xét Tính Chẵn Lẻ của Hàm Số
Để xét tính chẵn lẻ của một hàm số, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2: Kiểm tra tính đối xứng của tập xác định:
- Nếu tồn tại một giá trị x₀ thuộc D mà -x₀ không thuộc D, kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
- Nếu với mọi x thuộc D, -x cũng thuộc D, chuyển sang bước 3.
Bước 3: Tính f(-x) và so sánh với f(x):
- Nếu f(-x) = f(x) với mọi x thuộc D, kết luận hàm số là hàm số chẵn.
- Nếu f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc D, kết luận hàm số là hàm số lẻ.
- Nếu tồn tại một giá trị x₀ thuộc D mà f(-x₀) ≠ f(x₀) và f(-x₀) ≠ -f(x₀), kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
3. Ví Dụ Minh Họa Cách Xét Tính Chẵn Lẻ
Ví dụ 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) f(x) = 3x³ + 2∛x
b) f(x) = x⁴ – 2x² + 1
c) f(x) = √(25 – x²)
d) f(x) = x / (x + 2)
Hướng dẫn giải:
a) f(x) = 3x³ + 2∛x
- TXĐ: D = R.
- Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D
- f(-x) = 3.(-x)³ + 2∛(-x) = -3x³ – 2∛x = -(3x³ + 2∛x) = -f(x)
Vậy f(x) = 3x³ + 2∛x là hàm số lẻ.
b) f(x) = x⁴ – 2x² + 1
- TXĐ: D = R.
- Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D
- f(-x) = (-x)⁴ – 2(-x)² + 1 = x⁴ – 2x² + 1 = f(x)
Vậy f(x) = x⁴ – 2x² + 1 là hàm số chẵn.
c) f(x) = √(25 – x²)
-
ĐKXĐ: 25 – x² ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5
Alt text: Bất phương trình xác định điều kiện của biến x để biểu thức dưới căn có nghĩa, một bước quan trọng trong việc tìm tập xác định.
-
Suy ra TXĐ: D = [-5; 5]
-
Với mọi x ∈ [-5; 5] ta có -x ∈ [-5; 5]
-
f(-x) = √(25 – (-x)²) = √(25 – x²) = f(x)
Alt text: Phép biến đổi f(-x) cho hàm số căn bậc hai, minh họa cách áp dụng định nghĩa để xét tính chẵn lẻ.
Vậy f(x) = √(25 – x²) là hàm số chẵn.
d) f(x) = x / (x + 2)
-
ĐKXĐ: x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2
Alt text: Điều kiện x khác -2 để mẫu số khác 0, đảm bảo hàm phân thức được xác định.
-
Suy ra TXĐ: D = R {-2}
-
Ta có x₀ = 1 ∈ D nhưng -x₀ = -1 ∉ D
Vậy hàm số f(x) = x / (x + 2) không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn:
f(x) = (x² + 1) / (√(x² + 1) – 1) + (2m² – 2)x
Hướng dẫn:
f(x) = (x² + 1) / (√(x² + 1) – 1) + (2m² – 2)x
Điều kiện xác định: √(x² + 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
Giả sử hàm số chẵn suy ra f(-x) = f(x) với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)
(x² + 1) / (√(x² + 1) – 1) + (2m² – 2)x = ((-x)² + 1) / (√( (-x)² + 1) – 1) + (2m² – 2)(-x)
Với mọi x thỏa mãn (*)
=> 2(2m² – 2) x = 0 với mọi x thỏa mãn (*)
⇔ 2m² – 2 = 0 ⇔ m = ± 1
Với m = 1 ta có hàm số là f(x) = (x² + 1) / (√(x² + 1) – 1)
TXĐ : √(x² + 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
Suy ra TXĐ: D = R {0}
Dễ thấy với mọi x ∈ R {0} thì -x ∈ R {0} và f(-x) = f(x)
Do đó f(x) = (x² + 1) / (√(x² + 1) – 1) là hàm số chẵn.
Với m = -1 ta có hàm số là f(x) = (x² + 1) / (√(x² + 1) – 1)
TXĐ: D = R
Dễ thấy với mọi x ∈ R thì -x ∈ R và f(-x) = f(x)
Do đó f(x) = (x² + 1) / (√(x² + 1) – 1) là hàm số chẵn.
Vậy m = ± 1 là giá trị cần tìm.
4. Bài Tập Tự Luyện Về Tính Chẵn Lẻ
Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = x³ + 5x² + 4.
Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = (x² + 5) / (x² + 1).
Bài 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = √(x + 1) – √(1 – x).
Bài 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = (x – 5) / (x – 1).
Bài 5. Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn:
f(x) = x / (x² – 2) + (2m – 1)x – 2m + 1.
Bài 6. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = 3x² – 2x + 1.
Bài 7. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = x³ / (x – 1).
Bài 8. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = (x – 1) / (2x – 1).
Bài 9. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = (2x² + 3) / (3x² + 1).
Bài 10. Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn:
f(x) = x³ / (x² + 5) + (m + 3)x³ – m – 3