1. Tổng quan về tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có dạng:
f(x) = ax² + bx + c
trong đó a, b, và c là các hệ số thực, với điều kiện a ≠ 0. Việc xét dấu tam thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là khi giải bất phương trình, tìm tập xác định của hàm số, và khảo sát tính biến thiên của hàm số bậc hai.
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Định lý này là nền tảng để xét dấu tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta xét biệt thức Δ:
Δ = b² – 4ac
-
Trường hợp 1: Δ < 0
- Tam thức f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ (tập số thực).
-
Trường hợp 2: Δ = 0
- Tam thức f(x) có nghiệm kép x = -b/2a.
- f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ -b/2a. Tại x = -b/2a, f(x) = 0.
-
Trường hợp 3: Δ > 0
- Tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (giả sử x₁ < x₂).
- f(x) cùng dấu với hệ số a khi x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).
- f(x) trái dấu với hệ số a khi x ∈ (x₁; x₂).
Hình ảnh minh họa các trường hợp của biệt thức Delta (Δ) và ảnh hưởng đến dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c.
Lưu ý:
- Nếu b là số chẵn, ta có thể sử dụng Δ’ = (b/2)² – ac để tính toán cho đơn giản.
- Định lý này là công cụ chính để xét dấu một tam thức bậc hai.
3. Phương pháp xét dấu biểu thức chứa tam thức bậc hai
a. Biểu thức là tam thức bậc hai đơn thuần:
- Bước 1: Tính biệt thức Δ (hoặc Δ’).
- Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu Δ ≥ 0).
- Bước 3: Xác định dấu của hệ số a.
- Bước 4: Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để kết luận.
b. Biểu thức là tích/thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai:
- Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của tử thức và mẫu thức (nếu có). Tìm các giá trị làm cho biểu thức không xác định.
- Bước 2: Lập bảng xét dấu, sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần trên trục số.
- Bước 3: Xét dấu của từng nhị thức/tam thức trong từng khoảng nghiệm.
- Bước 4: Xác định dấu của biểu thức f(x) dựa trên quy tắc dấu (tích/thương của các dấu).
- Bước 5: Kết luận về dấu của f(x) trên các khoảng xác định.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = x² – 5x + 6
b) g(x) = -2x² + 4x – 2
c) h(x) = x² + x + 1
Giải:
a) f(x) = x² – 5x + 6
- Δ = (-5)² – 4 1 6 = 1 > 0
- Nghiệm: x₁ = 2, x₂ = 3
- a = 1 > 0
- Kết luận: f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞); f(x) < 0 khi x ∈ (2; 3); f(x) = 0 khi x = 2 hoặc x = 3.
b) g(x) = -2x² + 4x – 2
- Δ = 4² – 4 (-2) (-2) = 0
- Nghiệm kép: x = 1
- a = -2 < 0
- Kết luận: g(x) < 0 khi x ≠ 1; g(x) = 0 khi x = 1.
c) h(x) = x² + x + 1
- Δ = 1² – 4 1 1 = -3 < 0
- a = 1 > 0
- Kết luận: h(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức:
f(x) = (x – 1)(x² – 4) / (x + 3)
Giải:
-
Nghiệm của tử: x = 1, x = -2, x = 2
-
Nghiệm của mẫu: x = -3 (làm cho biểu thức không xác định)
-
Lập bảng xét dấu:
-
Kết luận: f(x) > 0 khi x ∈ (-3; -2) ∪ (1; 2); f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -3) ∪ (-2; 1) ∪ (2; +∞); f(x) = 0 khi x = -2, x = 1, x = 2; f(x) không xác định khi x = -3.
5. Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = 3x² – 4x + 1
b) g(x) = -x² + 6x – 9
c) h(x) = 2x² + x + 5
Bài 2. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = (x + 2)(x² – 9)
b) g(x) = (x² + 2x + 1) / (x – 3)
c) h(x) = (4 – x²)(x + 1) / (x – 2)
Bài 3. Tìm các giá trị của m để tam thức f(x) = x² – 2mx + m + 2 luôn dương với mọi x ∈ ℝ.
Bài 4. Giải bất phương trình: x² – 3x + 2 < 0
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số y = √( -x² + 5x – 6)
6. Ứng dụng của Xét Dấu Tam Thức Bậc 2
- Giải bất phương trình: Việc xét dấu tam thức bậc hai là bước quan trọng để giải các bất phương trình bậc hai và các bất phương trình chứa biểu thức hữu tỉ.
- Tìm tập xác định của hàm số: Khi hàm số chứa căn bậc hai hoặc phân thức, việc xét dấu tam thức bậc hai giúp xác định miền giá trị mà biểu thức dưới căn hoặc mẫu thức có nghĩa.
- Khảo sát hàm số bậc hai: Việc xét dấu đạo hàm bậc nhất và bậc hai giúp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số bậc hai.
- Bài toán liên quan đến vị trí tương đối của hai đồ thị: Xét dấu hiệu của phương trình hoành độ giao điểm để xác định số giao điểm và vị trí tương đối của hai đồ thị.
7. Kết luận
Nắm vững lý thuyết và phương pháp xét dấu tam thức bậc hai là rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp bạn thành thạo kỹ năng này và áp dụng nó vào giải quyết các bài toán phức tạp hơn.