1. Các Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Để Xác định Góc Giữa Hai đường Thẳng Trong Không Gian, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
-
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng m và n là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với m và n.
-
Phương pháp dựng hình: Chọn một điểm O trên đường thẳng a. Vẽ đường thẳng a’ đi qua O và song song với đường thẳng b. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và a’, tức là (a, b) = (a, a’).
-
Sử dụng tích vô hướng: Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, sau đó áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ.
Cho hai đường thẳng d1, d2 có các vectơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{u_1}$, $overrightarrow{u_2}$. Khi đó góc $alpha$ giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi công thức:
$cos(alpha) = frac{|overrightarrow{u_1} cdot overrightarrow{u_2}|}{|overrightarrow{u_1}| cdot |overrightarrow{u_2}|}$
Chú thích: Hình ảnh minh họa công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng dựa vào tích vô hướng của các vectơ chỉ phương.
Lưu ý:
- Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.
- Khi sử dụng phương pháp tọa độ, cần xác định chính xác tọa độ các điểm để tính toán các vectơ chỉ phương.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2AB. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) (AD, A’B’)
b) (A’B’, AC)
Giải:
Hình ảnh minh họa hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ giúp hình dung các đường thẳng trong không gian.
a) Vì A’B’ // AB (do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật) nên (AD, A’B’) = (AD, AB). Do ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ AB. Vậy (AD, A’B’) = 90°.
b) Vì A’B’ // AB nên (A’B’, AC) = (AB, AC) = góc BAC. Xét tam giác ABC vuông tại B có AC = 2AB, suy ra sin(ACB) = AB/AC = 1/2 ⇒ ACB = 30° ⇒ BAC = 60°. Vậy (A’B’, AC) = 60°.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = $frac{asqrt{3}}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Hình ảnh tứ diện ABCD giúp hình dung vị trí tương đối của các cạnh và trung điểm.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Khi đó MI, NI, MJ, NJ là các đường trung bình của các tam giác ABC, BCD, ACD, ABD. Suy ra MI = NI = MJ = NJ = a/2. Vì MI // AB và NI // CD nên (AB, CD) = (IM, IN) = góc MIN.
Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Khi đó MN ⊥ IJ tại O và O là trung điểm của IJ. Suy ra IO = IJ/2 = $frac{asqrt{3}}{4}$. Xét tam giác MIO vuông tại O có cos(MIO) = IO/MI = $frac{asqrt{3}/4}{a/2}$ = $frac{sqrt{3}}{2}$. Vậy MIO = 30° ⇒ MIN = 60°. Vậy (AB, CD) = 60°.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $widehat{BAC} = widehat{BAD} = 60°$, $widehat{CAD} = 90°$. Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Hình ảnh minh họa tứ diện ABCD với các thông số góc và cạnh cho trước.
Ta có $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD} = overrightarrow{AB}.(overrightarrow{AD} – overrightarrow{AC}) = overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD} – overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}$.
Hình ảnh thể hiện chi tiết phép tính tích vô hướng của hai vectơ.
Vì AB = AC = AD, $widehat{BAC} = widehat{BAD} = 60°$ và $widehat{CAD} = 90°$ nên $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD} = AB.AD.cos60° = AB^2.frac{1}{2}$ và $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} = AB.AC.cos60° = AB^2.frac{1}{2}$. Vậy $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD} = AB^2.frac{1}{2} – AB^2.frac{1}{2} = 0$. Suy ra AB ⊥ CD. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.
3. Bài Tập Tự Luyện
Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
A. BDB’
B. AB’C
C. DB’B
D. DA’C’
Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Số đo góc giữa hai đường thẳng CD và AB là:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 3. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng:
A. $frac{sqrt{3}}{6}$
B. $frac{sqrt{2}}{2}$
C. $frac{sqrt{3}}{2}$
D. $frac{1}{2}$
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN, SC) bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa (IE, JF) bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng AB, DH bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 8. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng AB và OO’?
A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 120°
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng
A. $frac{sqrt{2}}{2}$
B. $frac{sqrt{3}}{6}$
C. $frac{1}{2}$
D. $frac{sqrt{3}}{2}$
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:
A. 90°
B. 45°
C. 30°
D. 60°