Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng Lớp 11: Bí Quyết Chinh Phục Bài Toán Không Gian

1. Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Trong hình học không gian, việc xác định góc giữa hai đường thẳng là một kỹ năng quan trọng. Góc giữa hai đường thẳng m và n, ký hiệu là (m, n), được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với m và n. Dưới đây là các phương pháp hiệu quả để xác định góc giữa hai đường thẳng:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Đây là cách tiếp cận trực tiếp nhất. Ta tìm hai đường thẳng a và b thỏa mãn định nghĩa trên, sau đó đo hoặc tính góc giữa a và b.
Cách 2: Dựng đường thẳng song song

Chọn một điểm O trên đường thẳng a. Qua O, dựng đường thẳng a’ song song với đường thẳng b (và không trùng với a). Khi đó, góc giữa a và b bằng góc giữa a và a’, tức là (a, b) = (a, a’).
Cách 3: Sử dụng tích vô hướng của vectơ chỉ phương

Tìm hai vectơ chỉ phương, u1 và u2, của hai đường thẳng d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi công thức:

Alt text: Công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 dựa trên tích vô hướng và độ dài của các vectơ chỉ phương u1 và u2 tương ứng.

Lưu ý:
- Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°: 0° ≤ (a, b) ≤ 90°.
- Để tính u1, u2, |u1|, |u2|, ta có thể chọn ba vectơ a, b, c rồi thực hiện các phép toán cần thiết.
Alt text: Biểu thức toán học minh họa cách tính độ dài của vectơ u1, sử dụng căn bậc hai của tích vô hướng của vectơ đó với chính nó.

Alt text: Biểu thức toán học về mối quan hệ giữa tích vô hướng và độ dài của hai vectơ u1 và u2, có sử dụng cosin của góc giữa chúng.

2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2AB. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) (AD, A’B’).

b) (A’B’, AC).

Lời giải:

Alt text: Hình vẽ minh họa hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ để tính góc giữa các đường thẳng AD, A’B’, và AC.

a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật, A’B’ // AB. Do đó, (AD, A’B’) = (AD, AB). Vì ABCD là hình chữ nhật, AD ⊥ AB. Vậy (AD, A’B’) = 90°.

b) Trong tam giác ABC vuông tại B, AC = 2AB (giả thiết) => sin(ACB) = AB/AC = 1/2 => góc ACB = 30° => góc BAC = 60°. Vì A’B’ // AB, nên (A’B’, AC) = (AB, AC) = góc BAC = 60°.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải:

Alt text: Hình ảnh tứ diện ABCD với I và J là trung điểm của BC và AD, MN là đoạn nối trung điểm của AC và BD, O là giao điểm của MN và IJ.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. MI, NI, MJ, NJ là các đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ACD và ABD. Do đó MI = NI = MJ = NJ = a/2 và MI // AB; CD // NI. Vậy MINJ là hình thoi và (AB, CD) = (IM, IN) = góc MIN. Gọi O là giao điểm của MN và IJ. MN ⊥ IJ tại O và O là trung điểm của IJ. Suy ra IO = IJ/2 = (a√3)/4. Xét tam giác MIO vuông tại O, cos(MIO) = IO/MI = (√3)/2 => góc MIO = 30° => góc MIN = 60°. Vậy (AB, CD) = 60°.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = góc BAD = 60°, góc CAD = 90°. Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải:

Alt text: Mô hình tứ diện ABCD với các cạnh AB, AC, AD bằng nhau và các góc BAC, BAD đều bằng 60 độ, góc CAD bằng 90 độ.

Vectơ chỉ phương của AB là AB→, vectơ chỉ phương của CD là CD→. Ta có: AB→.CD→ = AB→.(AD→ – AC→) = AB→.AD→ – AB→.AC→ = |AB| |AD| cos(BAD) – |AB| |AC| cos(BAC).

Alt text: Phương trình toán học tính tích vô hướng của vectơ AB và vectơ CD thông qua các tích vô hướng của AB với AD và AC, sử dụng các góc BAC, BAD, và CAD.

Vì AB = AC = AD = a, góc BAC = góc BAD = 60°, nên AB→.CD→ = a² cos(60°) – a² cos(60°) = 0. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.

3. Bài Tập Tự Luyện

(Các câu hỏi trắc nghiệm và đáp án sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập về xác định góc giữa hai đường thẳng.)

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

A. BDB’^ ;
B. AB’C^ ;
C. DB’B^ ;
D. DA’C’^ .

Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Số đo góc giữa hai đường thẳng CD và AB là