A. Phương Pháp Giải và Ứng Dụng Hệ Thức Vi-et
Định lý Vi-ét: Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 (phân biệt hoặc trùng nhau). Khi đó, tổng các nghiệm (S) và tích các nghiệm (P) được tính như sau:
- Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = S = -b/a
- Tích hai nghiệm: x1 * x2 = P = c/a
Định lý Vi-et không chỉ giúp ta tìm tổng và tích nghiệm một cách nhanh chóng mà còn là công cụ đắc lực trong việc giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai mà không cần giải trực tiếp phương trình. Đặc biệt, biểu thức (x1 – x2)² có thể được biến đổi để sử dụng hệ thức Vi-et một cách hiệu quả.
Biến đổi biểu thức (x1 – x2)² theo Viet:
Ta có: (x1 – x2)² = (x1 + x2)² – 4x1x2 = S² – 4P
Công thức này cho phép chúng ta tính giá trị của (x1 – x2)² viet một cách dễ dàng nếu biết tổng S và tích P của hai nghiệm, từ đó giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương quan giữa hai nghiệm.
Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải:
-
Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước:
- Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).
- Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét để tính S và P theo m.
- Bước 3: Biến đổi điều kiện đã cho về dạng biểu thức chứa S và P, sau đó giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm m.
- Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
-
Tìm tham số và nghiệm còn lại khi biết một nghiệm x₀:
- Bước 1: Thay x₀ vào phương trình để tìm tham số.
- Bước 2: Sử dụng hệ thức Vi-ét hoặc phân tích thành nhân tử để tìm nghiệm còn lại.
- Bước 3: Kết luận.
-
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Tính S và P theo định lý Vi-ét.
- Bước 3: Tìm cách biểu diễn tham số m qua S và P.
- Bước 4: Khử m để tìm ra hệ thức liên hệ giữa x1 và x2.
- Bước 5: Kết luận.
-
Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c/a.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = -c/a.
-
Tìm hai số khi biết tổng và tích:
- Hai số u và v là nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.
- Điều kiện để tồn tại u và v là S² – 4P ≥ 0.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình (m – 1)x² – 2mx + m + 1 = 0 có nghiệm nguyên.
Lời giải:
Chọn A. Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần xét delta và các điều kiện liên quan đến nghiệm.
Ví dụ 2: Phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x1 = 3. Tìm nghiệm còn lại x2.
Lời giải:
Chọn D. Thay x1 = 3 vào phương trình, ta tìm được m, sau đó sử dụng Vi-ét để tìm x2.
Ví dụ 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x² – (m + 3)x + 2m – 5 = 0 mà không phụ thuộc vào m.
Lời giải:
Chọn A. Sử dụng Vi-ét để biểu diễn S và P theo m, sau đó khử m để có hệ thức liên hệ.
Ví dụ 4: Cho phương trình x² – 2x – 8 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 = x1 – 3 và y2 = x2 – 3.
Lời giải:
Chọn C. Tính S và P của y1 và y2 theo x1 và x2, sau đó lập phương trình bậc hai mới.
C. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tìm m để phương trình x² – 3mx + 2m² + 6 = 0 có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật có chu vi bằng 42 và diện tích bằng 104.
Lời giải:
Đáp án B. Áp dụng Vi-ét và các điều kiện về chu vi và diện tích để tìm m.
Bài 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x² – 2(m – 1)x – 2m + 1 = 0 không phụ thuộc vào m.
Lời giải:
Đáp án D. Sử dụng Vi-ét và khử m để tìm hệ thức.
Bài 3: Cho phương trình x² – 5x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Tính giá trị của biểu thức x1²x2 + x1x2².
Lời giải:
Đáp án A. Sử dụng Vi-ét để tính x1 + x2 và x1x2, sau đó thay vào biểu thức.
Bài 4: Gọi S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình x² – 2x – 3 = 0. Tính giá trị của biểu thức S² + 2P.
Lời giải:
Đáp án B. Dùng Vi-ét để tìm S và P, sau đó tính giá trị biểu thức.
Bài 5: Cho phương trình x² – (m² + 1)x + 3m² – 8 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 = 4×2.
Lời giải:
Đáp án C. Kết hợp Vi-ét và điều kiện x1 = 4×2 để tìm m.
Bài 6: Phương trình nào sau đây có nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x² + mx – 2 = 0?
Lời giải:
Đáp án B. Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho, thì 1/x1 và 1/x2 là nghiệm của phương trình cần tìm.
Bài 7: Cho phương trình x² – 2x – m² = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 = 2×1 – 1 và y2 = 2×2 – 1.
Lời giải:
Đáp án D. Tính tổng và tích các nghiệm mới theo các nghiệm cũ, sau đó lập phương trình.
Bài 8: Cho phương trình mx² – (2m + 3)x + m – 4 = 0. Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Lời giải:
Đáp án C. Sử dụng Vi-ét và khử m để tìm hệ thức.
Bài 9: Tìm m để phương trình x² + 3x + m – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(x1⁴ – 1) + x2(x2⁴ – 1) = 3.
Lời giải:
Đáp án D. Sử dụng Vi-ét và biến đổi điều kiện để tìm m.
Bài 10: Cho phương trình x² – 2(m – 2)x – 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 – x1 = x1².
Lời giải:
Đáp án A. Kết hợp Vi-ét và điều kiện đã cho để tìm m.
Ứng dụng hệ thức Vi-et, đặc biệt là công thức (x1-x2)² viet, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một cách hiệu quả và nhanh chóng. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi.
