Trong giải tích, việc tìm đạo hàm của một hàm số là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào việc tính đạo hàm của hàm số đặc biệt: $xsqrt{x}$. Chúng ta sẽ đi sâu vào công thức, các bước tính toán chi tiết, ví dụ minh họa và ứng dụng của đạo hàm này.
Hàm số $xsqrt{x}$ có thể được viết lại dưới dạng lũy thừa:
$xsqrt{x} = x cdot x^{frac{1}{2}} = x^{frac{3}{2}}$
Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lũy thừa:
$(x^n)’ = n cdot x^{n-1}$
Áp dụng quy tắc này cho hàm số $x^{frac{3}{2}}$, ta có:
$(x^{frac{3}{2}})’ = frac{3}{2} cdot x^{frac{3}{2} – 1} = frac{3}{2} cdot x^{frac{1}{2}} = frac{3}{2}sqrt{x}$
Vậy, đạo hàm của $xsqrt{x}$ là $frac{3}{2}sqrt{x}$.
Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét một ví dụ cụ thể:
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = xsqrt{x}$ tại $x = 4$.
Giải:
- Tính đạo hàm của $f(x)$: $f'(x) = frac{3}{2}sqrt{x}$
- Thay $x = 4$ vào đạo hàm: $f'(4) = frac{3}{2}sqrt{4} = frac{3}{2} cdot 2 = 3$
Vậy, đạo hàm của $f(x) = xsqrt{x}$ tại $x = 4$ là 3.
Đạo hàm của $xsqrt{x}$ không chỉ là một bài toán lý thuyết mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi và tối ưu hóa.
Ví dụ, trong vật lý, nếu $xsqrt{x}$ biểu diễn quãng đường đi được của một vật theo thời gian $x$, thì đạo hàm $frac{3}{2}sqrt{x}$ sẽ biểu diễn vận tốc của vật tại thời điểm $x$.
Trong kinh tế, nếu $xsqrt{x}$ biểu diễn chi phí sản xuất, thì đạo hàm $frac{3}{2}sqrt{x}$ sẽ biểu diễn chi phí biên, tức là chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
Hình ảnh minh họa công thức đạo hàm của x căn x, nhấn mạnh vào quy tắc lũy thừa và kết quả cuối cùng.
Ngoài ra, việc tính đạo hàm của $xsqrt{x}$ còn là một bước quan trọng trong việc giải các bài toán tích phân phức tạp hơn.
Một số bài tập tự luyện:
- Tìm đạo hàm của hàm số $g(x) = 2xsqrt{x} + 5$.
- Tìm giá trị của $x$ sao cho đạo hàm của $h(x) = xsqrt{x} – 3x$ bằng 0.
- Ứng dụng: Một công ty ước tính lợi nhuận của họ (tính bằng nghìn đô la) sau $t$ năm là $P(t) = 10tsqrt{t}$. Tìm tốc độ thay đổi của lợi nhuận sau 4 năm.
Hiểu rõ và vận dụng thành thạo công thức đạo hàm của $xsqrt{x}$ sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán trong học tập và ứng dụng thực tế một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này.
