Phương pháp xác định m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, dương, âm
Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa giúp học sinh nắm vững cách tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, hoặc thỏa mãn các điều kiện đặc biệt khác.
A. Phương pháp giải tổng quát
Cho phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a ne 0$).
-
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
- $ac < 0$
-
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:
- $Delta ge 0$ (hoặc $Delta > 0$ nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt)
- $ac > 0$
Alt text: Công thức điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu, bao gồm delta lớn hơn hoặc bằng không và tích a nhân c lớn hơn không, minh họa bằng hình ảnh công thức toán học.
-
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương:
- $Delta ge 0$ (hoặc $Delta > 0$ nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt)
- $ac > 0$
- $S = x_1 + x_2 = -frac{b}{a} > 0$
Alt text: Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi delta lớn hơn hoặc bằng không, tích a nhân c lớn hơn không, và tổng hai nghiệm lớn hơn không, thể hiện qua công thức toán học.
-
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:
- $Delta ge 0$ (hoặc $Delta > 0$ nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt)
- $ac > 0$
- $S = x_1 + x_2 = -frac{b}{a} < 0$
Alt text: Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm âm: delta lớn hơn hoặc bằng không, tích a nhân c lớn hơn không, và tổng hai nghiệm nhỏ hơn không, minh họa bằng công thức.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình $x^2 – (m^2 + 1)x + m^2 – 7m + 12 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.
Giải
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi $ac < 0$.
$m^2 – 7m + 12 < 0$
$(m – 3)(m – 4) < 0$
$Rightarrow 3 < m < 4$
Alt text: Giải bất phương trình để tìm khoảng giá trị của m khi phương trình có hai nghiệm trái dấu, thể hiện quá trình phân tích và kết luận.
Vậy, với $3 < m < 4$ thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình $3x^2 – 4mx + m^2 – 2m – 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Giải
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi:
$begin{cases}
Delta > 0
ac > 0
end{cases}$
$begin{cases}
(-4m)^2 – 4 cdot 3 cdot (m^2 – 2m – 3) > 0
3(m^2 – 2m – 3) > 0
end{cases}$
$begin{cases}
16m^2 – 12m^2 + 24m + 36 > 0
m^2 – 2m – 3 > 0
end{cases}$
Alt text: Thiết lập hệ điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, bao gồm delta lớn hơn không và tích ac lớn hơn không, trình bày bằng công thức.
$begin{cases}
4m^2 + 24m + 36 > 0
(m – 3)(m + 1) > 0
end{cases}$
$begin{cases}
m^2 + 6m + 9 > 0
m > 3 text{ hoặc } m < -1
end{cases}$
$begin{cases}
(m + 3)^2 > 0
m > 3 text{ hoặc } m < -1
end{cases}$
$begin{cases}
m ne -3
m > 3 text{ hoặc } m < -1
end{cases}$
Alt text: Các bước giải hệ bất phương trình để tìm giá trị của m, bao gồm việc phân tích và loại bỏ giá trị không thỏa mãn.
Vậy, với $m > 3$ hoặc $m < -1$ và $m ne -3$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình $x^2 – (2m + 3)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm.
Giải
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm khi:
$begin{cases}
Delta > 0
ac > 0
S < 0
end{cases}$
$begin{cases}
[-(2m + 3)]^2 – 4 cdot 1 cdot m > 0
1 cdot m > 0
2m + 3 < 0
end{cases}$
Alt text: Hệ điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt: delta lớn hơn không, tích ac lớn hơn không và tổng hai nghiệm nhỏ hơn không, biểu diễn bằng công thức.
$begin{cases}
4m^2 + 12m + 9 – 4m > 0
m > 0
m < -frac{3}{2}
end{cases}$
$begin{cases}
4m^2 + 8m + 9 > 0
m > 0
m < -frac{3}{2}
end{cases}$
Alt text: Các bước giải hệ phương trình để tìm giá trị của m, bao gồm việc đơn giản hóa và so sánh các điều kiện.
Không có giá trị nào của m thỏa mãn (1), (2) và (3).
Vậy, không tồn tại m thỏa mãn đề bài.
C. Bài tập tự luyện
(Các bài tập này có thể tham khảo từ bài gốc)
Bài viết này cung cấp kiến thức nền tảng và các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ cách xác định m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn các điều kiện khác nhau. Hãy luyện tập thêm với các bài tập tự luyện để nắm vững kiến thức!
