Số vô hạn tuần hoàn là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt khi làm việc với phân số và số thập phân. Bài viết này sẽ đi sâu vào bản chất của số vô hạn tuần hoàn, cách nhận biết và chuyển đổi chúng.
Số Thập Phân Hữu Hạn và Vô Hạn Tuần Hoàn:
Số thập phân có thể được chia thành hai loại chính: hữu hạn và vô hạn.
-
Số thập phân hữu hạn: Là số thập phân có một số lượng chữ số hữu hạn sau dấu phẩy. Ví dụ: 0.25, 1.5, 3.1416.
-
Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Là số thập phân có vô số chữ số sau dấu phẩy, trong đó một hoặc một nhóm chữ số lặp lại vô hạn lần. Nhóm chữ số lặp lại này được gọi là chu kỳ. Ví dụ: 0.(3) = 0.3333…, 1.2(45) = 1.2454545…
Alt: Phân số 1/4 được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn là 0.25, minh họa cho khái niệm số thập phân hữu hạn.
Điều Kiện Để Phân Số Biểu Diễn Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn:
Một phân số tối giản (tử số và mẫu số không có ước chung nào khác 1) có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nếu mẫu số của nó có chứa các ước số nguyên tố khác 2 và 5.
Alt: Phân số -5/6 được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là -0.8(3), minh họa khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
Ví dụ:
- Phân số 7/30 có mẫu số là 30 = 2 x 3 x 5. Vì 30 có ước số nguyên tố là 3 (khác 2 và 5), nên 7/30 được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 7/30 = 0.2(3).
- Phân số 1/9 có mẫu số là 9 = 3 x 3. Vì 9 có ước số nguyên tố là 3 (khác 2 và 5), nên 1/9 được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 1/9 = 0.(1).
Phân Loại Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn có thể được chia thành hai loại:
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn: Là số thập phân mà chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Ví dụ: 0.(3), 2.(15).
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp: Là số thập phân mà giữa dấu phẩy và chu kỳ có một hoặc nhiều chữ số không lặp lại. Ví dụ: 0.1(6), 3.25(123).
Chuyển Đổi Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn Sang Phân Số:
Việc chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số là một kỹ năng quan trọng. Dưới đây là phương pháp thực hiện:
1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn:
- Nếu chu kỳ có một chữ số: 0.(a) = a/9
- Nếu chu kỳ có hai chữ số: 0.(ab) = ab/99
- Tổng quát: Nếu chu kỳ có n chữ số, mẫu số sẽ là n số 9.
Ví dụ:
- 0.(3) = 3/9 = 1/3
- 0.(25) = 25/99
2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp:
- Tử số: Lấy số tạo bởi phần bất thường (phần giữa dấu phẩy và chu kỳ) và chu kỳ, trừ đi phần bất thường.
- Mẫu số: Gồm các chữ số 9 và các chữ số 0. Số chữ số 9 bằng số chữ số trong chu kỳ, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.
Ví dụ:
- 0.1(6) = (16 – 1) / 90 = 15/90 = 1/6
- 5.3(18) = 5 + 0.3(18) = 5 + (318 – 3)/990 = 5 + 315/990 = 5 + 7/22 = 117/22
Alt: Minh họa cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp 0.1(6) thành phân số 1/6, thể hiện rõ quy tắc tính tử số và mẫu số.
Ứng Dụng:
Hiểu rõ về số vô hạn tuần hoàn giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến phân số, số thập phân, và các phép tính toán học khác. Nó cũng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, nơi độ chính xác cao là yếu tố then chốt.