Đường trung trực là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng, đặc biệt là khi nghiên cứu về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn đầy đủ và chi tiết về cách viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
Phương Pháp Tổng Quát
Cho hai điểm (A(x_A; y_A)) và (B(x_B; y_B)). Để viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:
- Xác định trung điểm M của AB: Tọa độ trung điểm M được tính bằng công thức:
[Mleft(frac{x_A + x_B}{2}; frac{y_A + y_B}{2}right)] - Tìm vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của AB: Vectơ chỉ phương (overrightarrow{AB}) có tọa độ là:
[overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)]
Vectơ pháp tuyến (overrightarrow{n}) của đường trung trực (vuông góc với AB) có thể lấy trực tiếp từ vectơ chỉ phương (overrightarrow{AB}), hoặc suy ra từ đó. - Viết phương trình đường trung trực: Đường trung trực (d) đi qua trung điểm M và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow{n}). Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là:
[a(x – x_M) + b(y – y_M) = 0]
Trong đó, (overrightarrow{n} = (a; b)) và (M(x_M; y_M)).
Hình ảnh minh họa phương pháp chung để viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB, nhấn mạnh vào trung điểm M và tính vuông góc.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về phương pháp trên, chúng ta sẽ cùng xét các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(4; -1). Hãy viết phương trình đường trung trực của đoạn AB.
- Bước 1: Tìm trung điểm M của AB:
[Mleft(frac{-2 + 4}{2}; frac{3 + (-1)}{2}right) = M(1; 1)] - Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của AB:
[overrightarrow{AB} = (4 – (-2); -1 – 3) = (6; -4) = 2(3; -2)]
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường trung trực là (overrightarrow{n} = (2; 3)) hoặc (overrightarrow{n} = (3; -2)) (do tính chất vuông góc). Ta chọn (overrightarrow{n} = (3; -2)) - Bước 3: Viết phương trình đường trung trực d:
[3(x – 1) – 2(y – 1) = 0]
[3x – 3 – 2y + 2 = 0]
[3x – 2y – 1 = 0]
Vậy, phương trình đường trung trực của đoạn AB là (3x – 2y – 1 = 0).
Ví dụ 2: Cho điểm A(1; -3) và B(3; 5). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- Bước 1: Tìm trung điểm M của AB:
[Mleft(frac{1 + 3}{2}; frac{-3 + 5}{2}right) = M(2; 1)]
Hình ảnh trực quan minh họa cách xác định tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng tọa độ.
- Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của AB:
[overrightarrow{AB} = (3 – 1; 5 – (-3)) = (2; 8) = 2(1; 4)]
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường trung trực là (overrightarrow{n} = (-4; 1)) - Bước 3: Viết phương trình đường trung trực d:
[-4(x – 2) + 1(y – 1) = 0]
[-4x + 8 + y – 1 = 0]
[-4x + y + 7 = 0]
Hay (4x – y – 7 = 0)
Ví dụ 3: Đường trung trực của đoạn AB với A(1 ; -4) và B( 5 ; 2) có phương trình là gì?
- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB:
[Ileft(frac{1 + 5}{2}; frac{-4 + 2}{2}right) = I(3; -1)] - Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của AB:
[overrightarrow{AB} = (5 – 1; 2 – (-4)) = (4; 6) = 2(2; 3)]
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường trung trực là (overrightarrow{n} = (-3; 2)) - Bước 3: Viết phương trình đường trung trực d:
[-3(x – 3) + 2(y + 1) = 0]
[-3x + 9 + 2y + 2 = 0]
[-3x + 2y + 11 = 0]
Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Câu 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; -4) và B( 3 ; -4) có phương trình là gì?
Câu 2: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; -3) và B(6 ; 7) có phương trình là gì?
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(2 ; – 4) là trung điểm của BC và B(1 ;3). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
Câu 4: Cho tam giác ABC có phương trình BC : 2x – y + 3 = 0 ; đường trung tuyến BM : 4x + y + 9 = 0 và đường phân giác CK : 3x + y – 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
Lưu Ý Quan Trọng
- Đường trung trực của một đoạn thẳng luôn đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
- Đường trung trực vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm.
- Có vô số vectơ pháp tuyến, chúng cùng phương với nhau.
- Khi giải bài toán liên quan đến tam giác, cần xác định rõ các yếu tố như tam giác cân, đường trung tuyến, đường phân giác để áp dụng phù hợp.
Kết Luận
Việc nắm vững phương pháp viết phương trình đường trung trực không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học phẳng một cách dễ dàng, mà còn là nền tảng quan trọng để học tốt các phần kiến thức nâng cao hơn. Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi đối diện với các bài toán liên quan đến đường trung trực. Chúc bạn học tốt!
