Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước

Trong hình học không gian Oxyz, bài toán “viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và vuông góc với một mặt phẳng khác” là một dạng toán thường gặp. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững kiến thức về vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và điều kiện vuông góc giữa hai mặt phẳng.

Phương pháp giải bài toán

Để viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

   • Tính vectơ $overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$. Vectơ này là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) vì mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB.

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

   • Từ phương trình mặt phẳng (P): $Ax + By + Cz + D = 0$, suy ra vectơ pháp tuyến của (P) là $overrightarrow{n_P} = (A; B; C)$.

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q):

   • Vì mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P), nên vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_Q}$ của (Q) vuông góc với vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_P}$ của (P). Đồng thời, $overrightarrow{n_Q}$ cũng vuông góc với vectơ chỉ phương $overrightarrow{AB}$ của (Q).
   • Do đó, ta có thể chọn $overrightarrow{n_Q}$ là tích có hướng của $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{n_P}$: $overrightarrow{n_Q} = [overrightarrow{AB}, overrightarrow{n_P}]$.

4. Viết phương trình mặt phẳng (Q):

   • Sử dụng vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_Q} = (a; b; c)$ và một điểm thuộc mặt phẳng (Q) (ví dụ: điểm A), ta viết phương trình mặt phẳng (Q) dưới dạng:
     $a(x – x_A) + b(y – y_A) + c(z – z_A) = 0$

Ví dụ minh họa

Xét ví dụ: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0 và hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 2). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

   • $overrightarrow{AB} = (3 – 2; 2 – 1; 2 – 1) = (1; 1; 1)$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

   • $overrightarrow{n_P} = (1; 2; -5)$

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q):

   • $overrightarrow{n_Q} = [overrightarrow{AB}, overrightarrow{n_P}] = begin{vmatrix} overrightarrow{i} & overrightarrow{j} & overrightarrow{k} 1 & 1 & 1 1 & 2 & -5 end{vmatrix} = (-7; 6; 1)$

4. Viết phương trình mặt phẳng (Q):

   • Sử dụng điểm A(2; 1; 1) và vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_Q} = (-7; 6; 1)$, ta có phương trình mặt phẳng (Q):
     $-7(x – 2) + 6(y – 1) + 1(z – 1) = 0$
     $Leftrightarrow -7x + 14 + 6y – 6 + z – 1 = 0$
     $Leftrightarrow -7x + 6y + z + 7 = 0$
     $Leftrightarrow 7x – 6y – z – 7 = 0$

Vậy, phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là: $7x – 6y – z – 7 = 0$.

Vecto phap tuyen va vecto chi phuong

Hình ảnh minh họa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương, hai khái niệm quan trọng để xác định phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

Các lưu ý quan trọng

• Khi tính tích có hướng, cần chú ý đến thứ tự của các vectơ vì tích có hướng không có tính giao hoán.
• Có thể chọn bất kỳ điểm nào thuộc mặt phẳng (Q) (A hoặc B) để viết phương trình mặt phẳng. Kết quả cuối cùng sẽ tương đương.
• Nếu vectơ pháp tuyến tìm được có thể rút gọn, nên rút gọn để phương trình mặt phẳng đơn giản hơn.

Ứng dụng của bài toán

Bài toán Viết Phương Trình Mặt Phẳng đi Qua 2 điểm Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng cho trước có nhiều ứng dụng trong hình học không gian và các bài toán liên quan, ví dụ:

• Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Giải các bài toán về vị trí tương đối giữa các mặt phẳng và đường thẳng.

Nắm vững phương pháp giải và các lưu ý quan trọng sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến mặt phẳng trong không gian Oxyz.