Viết Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng: Phương Pháp và Bài Tập

Để viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, chúng ta cần nắm vững cả lý thuyết và các phương pháp giải toán. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.

Phương Pháp Tìm Giao Tuyến Hai Mặt Phẳng

Có hai phương pháp chính để Viết Phương Trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng:

Cách 1: Sử dụng tích có hướng của vector pháp tuyến

1. Tìm vector chỉ phương: Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) có vector chỉ phương là tích có hướng của hai vector pháp tuyến của (P) và (Q). Tức là, nếu n1 là vector pháp tuyến của (P) và n2 là vector pháp tuyến của (Q), thì vector chỉ phương u của giao tuyến là u = [n1, n2].

   Hình ảnh minh họa vector chỉ phương của đường thẳng giao tuyến được tính từ tích có hướng của hai vector pháp tuyến.

2. Tìm một điểm thuộc giao tuyến: Để tìm một điểm M thuộc giao tuyến, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q). Thông thường, ta chọn một tọa độ (ví dụ, z = 0 hoặc x = 0) và giải hệ để tìm hai tọa độ còn lại.

3. Viết phương trình tham số: Khi đã có vector chỉ phương u và một điểm M thuộc giao tuyến, ta có thể viết phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến.

Cách 2: Giải hệ phương trình và tham số hóa

1. Lập hệ phương trình: Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là tập hợp các điểm M(x, y, z) thỏa mãn đồng thời phương trình của cả hai mặt phẳng. Do đó, ta có hệ phương trình:

   Hình ảnh hệ phương trình tuyến tính mô tả giao tuyến của hai mặt phẳng.

2. Tham số hóa: Chọn một biến (ví dụ, x = t), sau đó giải hệ phương trình để biểu diễn y và z theo t. Khi đó, ta có phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến.

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm phương trình tham số của giao tuyến d của hai mặt phẳng:

(α): x – 3y + z = 0
(α’): x + y – z + 4 = 0

Giải:

Cách 1:

Giải hệ phương trình:

x - 3y + z = 0
x + y - z + 4 = 0

Đặt y = t, ta có:

Hình ảnh hệ phương trình giao tuyến được giải bằng cách đặt y = t.

Suy ra phương trình tham số của d:

Hình ảnh phương trình tham số của giao tuyến.

Cách 2:

Tìm một điểm thuộc d bằng cách cho y = 0:

Hình ảnh hệ phương trình để tìm một điểm M0 trên giao tuyến d.

Vậy điểm M0(-2; 0; 2) thuộc d.

Tính vector chỉ phương:

Hình ảnh công thức tính tích có hướng của hai vector pháp tuyến.

Từ đó, chọn vector chỉ phương u = (-1, 2, 1) và viết phương trình tham số.

Ví dụ 2: Tìm phương trình giao tuyến của (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0. Giải hệ:

Hình ảnh hệ phương trình tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Oyz).

Kết quả là phương trình đường thẳng d.

Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Tìm phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng:

(P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0.

Bài 2: Tìm phương trình đường thẳng d, biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

x – y + z – 4 = 0 và 3x – y + z – 1 = 0.

Lưu Ý Quan Trọng

• Kiểm tra tính song song: Trước khi áp dụng các phương pháp trên, hãy kiểm tra xem hai mặt phẳng có song song hay không. Nếu song song, chúng không có giao tuyến.
• Chọn điểm phù hợp: Khi tìm điểm thuộc giao tuyến, nên chọn giá trị của x, y, hoặc z sao cho việc giải hệ phương trình trở nên đơn giản nhất.
• Rút gọn vector chỉ phương: Vector chỉ phương có thể được rút gọn bằng cách chia cho một số khác 0 để đơn giản hóa phương trình.

Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng để viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng một cách hiệu quả. Chúc bạn thành công!