Để giải quyết bài toán Viết Phương Trình đường Vuông Góc Chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, chúng ta cần nắm vững các phương pháp và kỹ thuật cơ bản. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn hiểu rõ và áp dụng thành công.
A. Phương Pháp Giải
Có hai phương pháp chính để viết phương trình đường vuông góc chung:
Cách 1: Sử dụng mặt phẳng phụ trợ
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2.
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d1 và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Tìm giao điểm M của d1 và (Q). Đường vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P).
Cách 2: Sử dụng điểm trên hai đường thẳng
- Gọi M là giao điểm của đường vuông góc chung d với d1 và N là giao điểm của d với d2.
- Tham số hóa tọa độ điểm M trên d1 và điểm N trên d2.
- Sử dụng điều kiện vuông góc để thiết lập hệ phương trình và giải tìm tọa độ M, N.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua M và N.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2, đường vuông góc chung d cắt d1 tại M và d2 tại N.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
Hình ảnh hiển thị phương trình tham số của hai đường thẳng d1 và d2 trong không gian.
Lời giải:
Sử dụng phương pháp mặt phẳng phụ trợ:
-
Tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng:
- d1 có vectơ chỉ phương là 𝑢1→=(1;2;4)
- d2 có vectơ chỉ phương là 𝑢2→=(1;0;0)
-
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2:
Vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 𝑢1→ và 𝑢2→ :
𝑛𝑃→=[𝑢1→,𝑢2→]=(0;4;−2)
Chọn 𝑛𝑃→=(0;2;−1) -
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc (P):
Vecto pháp tuyến của (Q) là tích có hướng của 𝑢1→ và 𝑛𝑃→ :
𝑛𝑄→=[𝑢1→,𝑛𝑃→]=(4;1;−2)
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm (0;1;-1) thuộc d1, do đó pt (Q) là:
4(𝑥−0)+1(𝑦−1)−2(𝑧+1)=0
⇔4𝑥+𝑦−2𝑧−3=0 -
Tìm giao điểm M của d1 và (Q)
Tọa độ điểm M thỏa mãn:
{𝑥=𝑡𝑦=1+2𝑡𝑧=−1+4𝑡4𝑥+𝑦−2𝑧−3=0
Thay vào pt (Q) ta được:
4𝑡+(1+2𝑡)−2(−1+4𝑡)−3=0
⇔−2𝑡=0⇔𝑡=0
⇒𝑀(0;1;−1) -
Viết phương trình đường vuông góc chung d
Đường thẳng d đi qua M(0;1;-1) và có vecto chỉ phương 𝑛𝑃→=(0;2;−1) nên có phương trình là:
{𝑥=0𝑦=1+2𝑡𝑧=−1−𝑡
Vậy đáp án là:
Hình ảnh biểu thị đáp án đúng của ví dụ 1, phương trình đường vuông góc chung.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
Hình ảnh hiển thị phương trình tham số của hai đường thẳng d1 và d2.
Lời giải:
Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
M = d ∩ d1 => M (t; 5-2t; 14-3t)
N = d ∩ d2 => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)
Hình ảnh thể hiện cách tính vectơ MN dựa trên tọa độ của M và N.
Hình ảnh trình bày điều kiện để MN vuông góc với vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Hình ảnh mô tả hệ phương trình để tìm giá trị của t và t’.
Hình ảnh hiển thị giá trị của t và t’ sau khi giải hệ phương trình.
Hình ảnh thể hiện tọa độ của điểm M và N sau khi tìm được t và t’.
Hình ảnh minh họa cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy phương trình của d là:
Hình ảnh biểu thị đáp án đúng của ví dụ 2, phương trình đường vuông góc chung.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
Hình ảnh minh họa phương trình tham số của hai đường thẳng d1 và d2.
Lời giải:
Phương pháp tương tự như ví dụ trên.
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng:
Hình ảnh hiển thị phương trình của hai đường thẳng d1 và d2.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Biết B( m; n; p). Tính m+ n- p?
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của đường thẳng (d): x−11=y2=z−11 và (d’): x=1+2ty=1+tz=t.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết: (d1): x−2−1=y−1−1=z−2−1 và (d2): x=ty=3z=−2+t.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): x−11=y+21=z−3−1 và (d2): x1=y−12=z−63. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d: x−22=y−33=z+4−5 và d′: x+13=y−4−2=z−4−1.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(- 2; 1; 3); B( 1;2; 1); C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại E và F. Tìm E?
Bài 6. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết: d1: x+12=y+21=z−11 và d2: x+2−4=y−11=z+2−1.
Bài 7. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1: x=1+ty=0z=−5+t và d2: x=0y=4−2uz=5+3u.
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng chéo nhau d1: x=1+2ty=2+tz=−3+3t và d2: x=2+t’y=−3+2t’z=1+3t’. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với d1 và d2.
Bài 9. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1: x−21=y−1−1=z−2−1 và d2: x=ty=3z=−2+t.
Bài 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1: x+12=y+21=z−11 và d2: x+2−4=y−11=z+2−1.
Hy vọng với các phương pháp, ví dụ và bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Chúc bạn thành công!
