Trong hình học phẳng, việc xác định phương trình đường thẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào cách Viết Phương Trình đường Thẳng đi Qua 1 điểm và các dạng bài tập liên quan, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
1. Các Dạng Phương Trình Đường Thẳng
Trước khi đi vào chi tiết cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, chúng ta cần nắm vững các dạng phương trình đường thẳng thường gặp:
- Phương trình tổng quát:
ax + by + c = 0(với a, b không đồng thời bằng 0). - Phương trình tham số:
x = x₀ + aty = y₀ + bt
Trong đó (x₀, y₀) là tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua, (a, b) là tọa độ của vectơ chỉ phương.
- Phương trình chính tắc:
(x - x₀)/a = (y - y₀)/b(với a, b khác 0). - Phương trình đoạn chắn:
x/a + y/b = 1(a, b là giao điểm của đường thẳng với trục Ox và Oy). - Phương trình đường thẳng có hệ số góc:
y = kx + b(k là hệ số góc).
2. Viết Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 1 Điểm
Để viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, ta cần thêm một yếu tố nữa:
- Biết vectơ chỉ phương (VTCP) hoặc vectơ pháp tuyến (VTPT): VTCP cho biết hướng của đường thẳng, còn VTPT vuông góc với đường thẳng.
- Biết hệ số góc: Áp dụng cho phương trình đường thẳng có hệ số góc.
- Biết một điểm khác mà đường thẳng đi qua: Từ đó tính được VTCP.
- Biết mối quan hệ song song hoặc vuông góc với một đường thẳng khác: Sử dụng tính chất về VTCP/VTPT của hai đường thẳng song song/vuông góc.
3. Phương Pháp Giải Chi Tiết
3.1. Khi Biết Tọa Độ Một Điểm và VTCP (hoặc VTPT)
Giả sử đường thẳng d đi qua điểm M(x₀, y₀) và có VTCP là u→(a, b).
- Phương trình tham số:
x = x₀ + aty = y₀ + bt
- Phương trình tổng quát (nếu biết VTPT n→(A, B)):
A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0
Alt: Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(-3; 5) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất, với vectơ chỉ phương u=(1;1).
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(2; -1) và có VTCP u→(3; 4).
- Giải: Phương trình tham số của d là:
x = 2 + 3ty = -1 + 4t
3.2. Khi Biết Tọa Độ Một Điểm và Hệ Số Góc
Giả sử đường thẳng d đi qua điểm M(x₀, y₀) và có hệ số góc k.
- Phương trình đường thẳng:
y - y₀ = k(x - x₀)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua B(-1; 3) và có hệ số góc k = 2.
- Giải: Phương trình của d là:
y - 3 = 2(x + 1)hayy = 2x + 5
3.3. Khi Biết Tọa Độ Một Điểm và Đường Thẳng Song Song (hoặc Vuông Góc)
- Song song: Hai đường thẳng song song có cùng VTCP (hoặc VTPT).
- Vuông góc: VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia (và ngược lại).
Alt: Đường thẳng đi qua điểm B (0; 3) và song song với đường thẳng AC, được biểu diễn bằng phương trình tham số.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua C(0; 2) và song song với đường thẳng Δ: 2x – y + 1 = 0.
- Giải:
- Δ có VTPT n→(2; -1). Vì d song song với Δ nên d cũng có VTPT n→(2; -1).
- Phương trình tổng quát của d:
2(x - 0) - 1(y - 2) = 0hay2x - y + 2 = 0
3.4. Khi Biết Tọa Độ Hai Điểm
Giả sử đường thẳng d đi qua hai điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂).
- Tìm VTCP: u→ = (x₂ – x₁, y₂ – y₁)
- Sử dụng VTCP và một trong hai điểm A hoặc B để viết phương trình đường thẳng.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua D(1; 1) và E(3; -2).
- Giải:
- VTCP của d: u→ = (3 – 1; -2 – 1) = (2; -3)
- Phương trình tham số của d:
x = 1 + 2ty = 1 - 3t
4. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(2; -3) và vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 1 = 0.
Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm N(-1; 5) và song song với trục Ox.
Alt: Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(4; -7) và song song với trục Ox.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 0), C(2; -4). Viết phương trình đường thẳng đi qua B và song song với AC.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có A(-2; 1) và phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là x – 3y + 5 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AB.
Alt: Phương trình tham số của đường thẳng AB, song song với CD trong hình bình hành ABCD.
5. Kết Luận
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để chinh phục dạng toán này. Chúc bạn học tốt!
