Để nắm vững cách Viết Phương Trình Chính Tắc Của Elip, chúng ta cần hiểu rõ lý thuyết và áp dụng linh hoạt các công thức. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn tự tin giải mọi bài toán liên quan đến elip.
A. Phương Pháp Xác Định Phương Trình Chính Tắc Elip
Để viết phương trình chính tắc của elip, ta thực hiện các bước sau:
-
Xác định các yếu tố đã biết: Đề bài có thể cho độ dài trục lớn, trục bé, tiêu cự, tọa độ tiêu điểm, hoặc các yếu tố khác liên quan đến elip.
-
Áp dụng các công thức liên quan: Sử dụng các công thức liên hệ giữa a, b, c (nửa độ dài trục lớn, nửa độ dài trục bé, tiêu cự) và các yếu tố đã biết để tìm ra a và b.
-
Viết phương trình chính tắc: Sau khi tìm được a và b, thay vào phương trình chính tắc của elip:
Alt text: Công thức phương trình chính tắc của elip với các biến số x, y, a, và b, thể hiện mối quan hệ giữa các điểm trên elip và các trục tọa độ.
Các hệ thức quan trọng cần nhớ:
a > b > 0(a, b là các số dương)c^2 = a^2 - b^2- Tiêu cự:
F1F2 = 2c - Độ dài trục lớn:
A1A2 = 2a - Độ dài trục bé:
B1B2 = 2b - Điểm M thuộc elip (E) khi và chỉ khi
MF1 + MF2 = 2a
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết Cách Viết Phương Trình Elip
Ví dụ 1: Elip (E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E).
Lời giải:
Ta có:
- 2a = 12 => a = 6
- 2b = 6 => b = 3
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
Alt text: Phương trình chính tắc của elip với a bằng 6 và b bằng 3, thể hiện sự thay thế các giá trị vào công thức chung để xác định elip cụ thể.
Ví dụ 2: Elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 6. Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E).
Lời giải:
Ta có:
- 2a = 10 => a = 5
- 2c = 6 => c = 3
Áp dụng công thức b^2 = a^2 - c^2 => b^2 = 5^2 - 3^2 = 16
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
Alt text: Phương trình elip với a bằng 5 và b bình phương bằng 16, mô tả cách tính và thay thế các giá trị để hoàn thành phương trình elip.
Ví dụ 3: Elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự bằng 10. Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E).
Lời giải:
Ta có:
- 2b = 8 => b = 4
- 2c = 10 => c = 5
Áp dụng công thức a^2 = b^2 + c^2 => a^2 = 4^2 + 5^2 = 41
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
Alt text: Phương trình chính tắc của elip với a bình phương bằng 41 và b bằng 4, cho thấy cách xác định phương trình khi biết trục nhỏ và tiêu cự.
Ví dụ 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết trục lớn gấp đôi trục bé và tiêu cự bằng 4√3.
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip là:
Ta có: 2a = 2(2b) và 2c = 4√3
Suy ra: a = 2b và c = 2√3
Mà c^2 = a^2 - b^2 => (2√3)^2 = (2b)^2 - b^2 => 12 = 3b^2 => b^2 = 4 => a^2 = 16
Vậy phương trình elip (E) là:
Alt text: Phương trình chính tắc của elip với a bình phương bằng 16 và b bình phương bằng 4, giải thích cách tìm phương trình khi biết quan hệ giữa trục lớn, trục bé và tiêu cự.
C. Bài Tập Vận Dụng
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn luyện tập cách viết phương trình chính tắc của elip:
Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng 2 và trục lớn bằng 10.
Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng √3/3 và độ dài trục lớn bằng 6.
Câu 3: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3.
Câu 4: Elip (E) có tiêu điểm F(2√3;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 32 có phương trình chính tắc là:
Câu 5: Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.
Câu 6: Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.
Câu 7: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng √5/3. Phương trình chính tắc của elip là
Câu 8: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng √21/5. Phương trình chính tắc của elip là:
Bằng cách nắm vững lý thuyết, luyện tập các ví dụ minh họa và giải các bài tập vận dụng, bạn sẽ tự tin viết phương trình chính tắc của elip trong mọi tình huống. Chúc bạn thành công!
